Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial dado, em , é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e condições para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função escalar tal que , onde é o gradiente de . Isso implica que o campo não tem “várias rotas” ou “caminhos fechados”, ou seja, o trabalho feito por ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final.

Passo 3

Uma condição fundamental para que um campo vetorial seja conservativo em um espaço simplesmente conexo como é que o rotacional (ou curl) do campo seja zero. Ou seja:
Vamos calcular o rotacional de para verificar essa condição.

Passo 4

Vamos calcular usando a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
Onde , , e .

Passo 5

Vamos calcular cada componente do rotacional:

Passo 6

Agora, substituindo nas componentes do rotacional:
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:

Passo 7

Assim, temos que:
Isso significa que o rotacional de é zero, o que satisfaz a condição necessária para que seja conservativo em .

Passo 8

Como é conservativo, podemos encontrar uma função potencial tal que . Vamos encontrar integrando os componentes de .
Primeiro, integramos em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de e .

Passo 9

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Mas isso não parece consistente, indicando que precisamos revisar. Na verdade, ao derivar em relação a , temos:
Igualando a :
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 10

Agora, substituímos de volta em :
Derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando a :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração que podemos ignorar para a função potencial.

Passo 11

Finalmente, substituímos em :
Essa é a função potencial para o campo vetorial .

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo. Uma função potencial para é:

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Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
em .
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
sobre o (dica: use o ponto 4 do exercicio precedente);
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde é a curva plana dada por .