Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial dado,
em
, é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e condições para que um campo seja conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
, onde
é o gradiente de
. Isso implica que o campo não tem “várias rotas” ou “caminhos fechados”, ou seja, o trabalho feito por
ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final.
Passo 3
Uma condição fundamental para que um campo vetorial seja conservativo em um espaço simplesmente conexo como
é que o rotacional (ou curl) do campo seja zero. Ou seja:
Vamos calcular o rotacional de
para verificar essa condição.
Passo 4
Vamos calcular
usando a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
Onde
,
, e
.
Passo 5
Vamos calcular cada componente do rotacional:
Passo 6
Agora, substituindo nas componentes do rotacional:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Passo 7
Assim, temos que:
Isso significa que o rotacional de
é zero, o que satisfaz a condição necessária para que
seja conservativo em
.
Passo 8
Como
é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos encontrar
integrando os componentes de
.
Primeiro, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
e
.
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Mas isso não parece consistente, indicando que precisamos revisar. Na verdade, ao derivar
em relação a
, temos:
Igualando a
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 10
Agora, substituímos
de volta em
:
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração que podemos ignorar para a função potencial.
Passo 11
Finalmente, substituímos
em
:
Essa é a função potencial para o campo vetorial
.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo. Uma função potencial para
é:
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Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
sobre o
(dica: use o ponto 4 do exercicio precedente);
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde
é a curva plana dada por
.