Por cada um dos seguintes campos vetoriais F, determine se F é conservativo. Se sim, calcule um potencial de F.
F(x, y, z) = (e^(y+2z), x e^(y+2z) + z, 2x e^(y+2z) + y + z^2) em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial dado, em R^3, é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e condições para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo F é conservativo se existir uma função escalar f(x, y, z) tal que , onde nabla f é o gradiente de f. Isso implica que o campo não tem “várias rotas” ou “caminhos fechados”, ou seja, o trabalho feito por F ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final.

Passo 3

Uma condição fundamental para que um campo vetorial seja conservativo em um espaço simplesmente conexo como R^3 é que o rotacional (ou curl) do campo seja zero. Ou seja:
Vamos calcular o rotacional de F para verificar essa condição.

Passo 4

Vamos calcular usando a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
Onde , , e .

Passo 5

Vamos calcular cada componente do rotacional:

Passo 6

Agora, substituindo nas componentes do rotacional:
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:

Passo 7

Assim, temos que:
Isso significa que o rotacional de F é zero, o que satisfaz a condição necessária para que F seja conservativo em R^3.

Passo 8

Como F é conservativo, podemos encontrar uma função potencial f(x, y, z) tal que . Vamos encontrar f integrando os componentes de F.
Primeiro, integramos em relação a x:
Onde é uma função que depende apenas de y e z.

Passo 9

Agora, derivamos f em relação a y e igualamos a :
Simplificando:
Mas isso não parece consistente, indicando que precisamos revisar. Na verdade, ao derivar f em relação a y, temos:
Igualando a :
Integrando em relação a y:
Onde é uma função que depende apenas de z.

Passo 10

Agora, substituímos de volta em f(x, y, z):
Derivamos f em relação a z e igualamos a :
Igualando a :
Integrando em relação a z:
Onde C é uma constante de integração que podemos ignorar para a função potencial.

Passo 11

Finalmente, substituímos em f(x, y, z):
Essa é a função potencial para o campo vetorial F.

Resposta

Sim, o campo vetorial F é conservativo. Uma função potencial para F é:

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