Por cada um dos seguintes campos vetoriais F, determine se F é conservativo. Se sim, calcule um potencial de F.
F(x, y, z) = e^z i + 2y j + x e^z k em R^3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial para F. Esse problema está dentro do estudo de cálculo vetorial, envolvendo conceitos de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar calcular o rotacional do campo vetorial e, se for conservativo, integrar para achar a potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo F é conservativo. Em , um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for zero. Ou seja, precisamos calcular .

Passo 3

Calculando o rotacional de F:
Expandindo o determinante:

Passo 4

Calculando cada componente:

Passo 5

Assim, o rotacional de F é:
Como o rotacional é zero, concluímos que o campo vetorial F é conservativo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma função potencial tal que:
Ou seja:

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a x:
Onde é uma função de integração que pode depender de y e z.

Passo 8

Agora, usamos :
Onde é outra função de integração que depende apenas de z.

Passo 9

Substituímos na expressão de phi:
Agora, usamos :
Isso implica que , ou seja, é constante. Podemos desprezar essa constante para simplificar.

Resposta

O campo vetorial F é conservativo e um potencial para F é:

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