Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de . em .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial para . Esse problema está dentro do estudo de cálculo vetorial, envolvendo conceitos de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar calcular o rotacional do campo vetorial e, se for conservativo, integrar para achar a potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Em , um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for zero. Ou seja, precisamos calcular .
Passo 3
Calculando o rotacional de :
Expandindo o determinante:
Passo 4
Calculando cada componente:
Passo 5
Assim, o rotacional de é:
Como o rotacional é zero, concluímos que o campo vetorial é conservativo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma função potencial tal que:
Ou seja:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a :
Onde é uma função de integração que pode depender de e .
Passo 8
Agora, usamos :
Onde é outra função de integração que depende apenas de .
Passo 9
Substituímos na expressão de :
Agora, usamos :
Isso implica que , ou seja, é constante. Podemos desprezar essa constante para simplificar.
Resposta
O campo vetorial é conservativo e um potencial para é: