Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
em .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial para . Esse problema está dentro do estudo de cálculo vetorial, envolvendo conceitos de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar calcular o rotacional do campo vetorial e, se for conservativo, integrar para achar a potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Em , um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for zero. Ou seja, precisamos calcular .

Passo 3

Calculando o rotacional de :
Expandindo o determinante:

Passo 4

Calculando cada componente:

Passo 5

Assim, o rotacional de é:
Como o rotacional é zero, concluímos que o campo vetorial é conservativo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma função potencial tal que:
Ou seja:

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Onde é uma função de integração que pode depender de e .

Passo 8

Agora, usamos :
Onde é outra função de integração que depende apenas de .

Passo 9

Substituímos na expressão de :
Agora, usamos :
Isso implica que , ou seja, é constante. Podemos desprezar essa constante para simplificar.

Resposta

O campo vetorial é conservativo e um potencial para é:

Exercícios relacionados

Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
sobre o (dica: use o ponto 4 do exercicio precedente);
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
sobre o plano ;
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
em .
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
.