Por cada um dos seguintes campos vetoriais F, determine se F é conservativo. Se sim, calcule um potencial de F.
F(x, y, z) = (y * sen(z), x * sen(z) + 2 * y * z^2 * e^(y^2), x * y * cos(z) + 2 * z * e^(y^2) + 2 * z / (z^2 + 1)) em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício onde precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também vamos calcular uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o cálculo do rotacional e a integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial F é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar, ou seja, se existir uma função potencial phi tal que . Mas antes de tudo, precisamos verificar isso calculando o rotacional de F. Se o rotacional for zero em todo o espaço considerado (no nosso caso, ), então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
Então, a primeira componente do rotacional é:
  1. Segunda componente:
Então, a segunda componente do rotacional é:
  1. Terceira componente:
Então, a terceira componente do rotacional é:

Passo 4

Como o rotacional de F é , concluímos que o campo vetorial F é conservativo em . Agora, vamos encontrar a função potencial phi tal que .

Passo 5

Para encontrar phi, vamos integrar as componentes de F:
  1. Integrando a primeira componente em relação a x:
Onde é uma função que depende de y e z.
  1. Usando a segunda componente para determinar :
Igualando:
Integrando em relação a y:
Onde é uma função que depende apenas de z.
  1. Usando a terceira componente para determinar :
Igualando:
Integrando em relação a z:
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A função potencial é:
Onde C é uma constante real.

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