Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício onde precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também vamos calcular uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o cálculo do rotacional e a integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar, ou seja, se existir uma função potencial tal que . Mas antes de tudo, precisamos verificar isso calculando o rotacional de . Se o rotacional for zero em todo o espaço considerado (no nosso caso, ), então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
Então, a primeira componente do rotacional é:
  1. Segunda componente:
Então, a segunda componente do rotacional é:
  1. Terceira componente:
Então, a terceira componente do rotacional é:

Passo 4

Como o rotacional de é , concluímos que o campo vetorial é conservativo em . Agora, vamos encontrar a função potencial tal que .

Passo 5

Para encontrar , vamos integrar as componentes de :
  1. Integrando a primeira componente em relação a :
Onde é uma função que depende de e .
  1. Usando a segunda componente para determinar :
Igualando:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .
  1. Usando a terceira componente para determinar :
Igualando:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A função potencial é:
Onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
em .
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
em .
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde é a curva plana dada por .
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e a curva é dada por .