Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício onde precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também vamos calcular uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o cálculo do rotacional e a integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar, ou seja, se existir uma função potencial
tal que
. Mas antes de tudo, precisamos verificar isso calculando o rotacional de
. Se o rotacional for zero em todo o espaço considerado (no nosso caso,
), então o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
Então, a primeira componente do rotacional é:
- Segunda componente:
Então, a segunda componente do rotacional é:
- Terceira componente:
Então, a terceira componente do rotacional é:
Passo 4
Como o rotacional de
é
, concluímos que o campo vetorial
é conservativo em
. Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
.
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar as componentes de
:
- Integrando a primeira componente em relação a
:
Onde
é uma função que depende de
e
.
- Usando a segunda componente para determinar
:
Igualando:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
- Usando a terceira componente para determinar
:
Igualando:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A função potencial é:
Onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde
é a curva plana dada por
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.