Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^2 dado por F(x, y)=(1+cosh y, x sinh y) e a curva C é dada por sigma(t)=(sin t, 2 t / pi), 0 <= t <= pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. A integral que temos é:
integralC F cdot d s
onde o campo vetorial F(x, y) = (1 + cosh y,, x sinh y) é dado por:
sigma(t) = (sin t,, 2tpi), 0 <= t <= pi2
E a curva está definida por:
Vamos precisar entender o que é uma integral de linha, o que é um campo vetorial conservativo, e como aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para facilitar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado pelo campo vetorial integralC F cdot d s = integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma'(t) , dt ao longo da curva . A fórmula geral é:
Mas isso pode ser trabalhoso. Então, vamos ver se conseguimos simplificar usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que só funciona se for um campo vetorial conservativo.

Passo 3

Um campo vetorial F = nabla f = ( partial fpartial x,, partial fpartial y ) é conservativo se existe uma função potencial integralC F cdot d s = f(final) - f(inicial) tal que:
Se conseguirmos encontrar essa função , então a integral de linha simplifica para:
Então, vamos tentar encontrar essa função potencial.

Passo 4

Vamos chamar partial fpartial x = 1 + cosh y e partial fpartial y = x sinh y .
Queremos encontrar f(x, y) = integral (1 + cosh y) , dx = x + x cosh y + g(y) tal que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos derivar partial fpartial y = x sinh y + g'(y) = x sinh y em relação a f(x, y) = x + x cosh y e igualar à segunda componente de :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos ignorar essa constante, pois ela se anula na diferença.
Portanto, a função potencial é:

Passo 6

Agora que temos a função potencial sigma(0) = (sin 0,, 2 cdot 0pi) = (0,, 0) , podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Precisamos apenas avaliar sigma(pi2) = (sin(pi2),, 2 cdot pi2pi) = (1,, 1) nos pontos final e inicial da curva .
Vamos encontrar os pontos inicial e final de :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 7

Agora, vamos calcular f(1, 1) = 1 + 1 cdot cosh(1) = 1 + cosh(1) nos pontos final f(0, 0) = 0 + 0 cdot cosh(0) = 0 e inicial :

Passo 8

Finalmente, aplicando o Teorema Fundamental, a integral de linha é:
integralC F cdot d s = f(1, 1) - f(0, 0) = (1 + cosh(1)) - 0 = 1 + cosh(1)

Resposta

A integral de linha vale .

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