Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. A integral que temos é:
onde o campo vetorial
é dado por:
E a curva
está definida por:
Vamos precisar entender o que é uma integral de linha, o que é um campo vetorial conservativo, e como aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para facilitar nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao longo da curva
. A fórmula geral é:
Mas isso pode ser trabalhoso. Então, vamos ver se conseguimos simplificar usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que só funciona se
for um campo vetorial conservativo.
Passo 3
Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Se conseguirmos encontrar essa função
, então a integral de linha simplifica para:
Então, vamos tentar encontrar essa função potencial.
Passo 4
Vamos chamar
.
Queremos encontrar
tal que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda componente de
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos ignorar essa constante, pois ela se anula na diferença.
Portanto, a função potencial é:
Passo 6
Agora que temos a função potencial
, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Precisamos apenas avaliar
nos pontos final e inicial da curva
.
Vamos encontrar os pontos inicial e final de
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
nos pontos final
e inicial
:
Passo 8
Finalmente, aplicando o Teorema Fundamental, a integral de linha é:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde
é a curva plana dada por
.
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é a curva
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e C é a curva
.