Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e a curva é dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. A integral que temos é:
onde o campo vetorial é dado por:
E a curva está definida por:
Vamos precisar entender o que é uma integral de linha, o que é um campo vetorial conservativo, e como aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para facilitar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo da curva . A fórmula geral é:
Mas isso pode ser trabalhoso. Então, vamos ver se conseguimos simplificar usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que só funciona se for um campo vetorial conservativo.

Passo 3

Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que:
Se conseguirmos encontrar essa função , então a integral de linha simplifica para:
Então, vamos tentar encontrar essa função potencial.

Passo 4

Vamos chamar .
Queremos encontrar tal que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda componente de :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos ignorar essa constante, pois ela se anula na diferença.
Portanto, a função potencial é:

Passo 6

Agora que temos a função potencial , podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Precisamos apenas avaliar nos pontos final e inicial da curva .
Vamos encontrar os pontos inicial e final de :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 7

Agora, vamos calcular nos pontos final e inicial :

Passo 8

Finalmente, aplicando o Teorema Fundamental, a integral de linha é:

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde é a curva plana dada por .
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e é a curva .
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e C é a curva .