Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde é a curva plana dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o teorema fundamental do cálculo. O enunciado nos dá uma integral na curva definida pela parametrização para . Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como aplicar o teorema fundamental do cálculo nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a integral que queremos calcular:
Isso é uma integral de linha de um campo vetorial .

Passo 3

O próximo passo é verificar se esse campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função tal que , ou seja:
Se conseguirmos encontrar essa função , podemos usar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, que diz que:

Passo 4

Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função de apenas.

Passo 5

Agora, diferenciamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos ignorar essa constante na integral.

Passo 6

Então, temos que . Agora, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Precisamos avaliar nos pontos final e inicial da curva .
A curva é dada por , com variando de 0 a 1.
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Aplicando o teorema:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
.
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
em .
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e a curva é dada por .
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e é a curva .