Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde
é a curva plana dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o teorema fundamental do cálculo. O enunciado nos dá uma integral na curva
definida pela parametrização
para
. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como aplicar o teorema fundamental do cálculo nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a integral que queremos calcular:
Isso é uma integral de linha de um campo vetorial
.
Passo 3
O próximo passo é verificar se esse campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função
tal que
, ou seja:
Se conseguirmos encontrar essa função
, podemos usar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, que diz que:
Passo 4
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
apenas.
Passo 5
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos ignorar essa constante na integral.
Passo 6
Então, temos que
. Agora, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Precisamos avaliar
nos pontos final e inicial da curva
.
A curva
é dada por
, com
variando de 0 a 1.
- Para
: - Para
:
Passo 7
Aplicando o teorema:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
.
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é a curva
.