Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
integralC y e^x y d x+x e^x y d y onde C é a curva plana dada por sigma(t)=(2 t, 3 t^2), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o teorema fundamental do cálculo. O enunciado nos dá uma integral na curva definida pela parametrização para . Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como aplicar o teorema fundamental do cálculo nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a integral que queremos calcular:
integralC y e^x y , dx + x e^x y , dy
Isso é uma integral de linha de um campo vetorial .

Passo 3

O próximo passo é verificar se esse campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função partial fpartial x = y e^x y e partial fpartial y = x e^x y tal que integralC F cdot dr = f(final) - f(inicial) , ou seja:
Se conseguirmos encontrar essa função , podemos usar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, que diz que:

Passo 4

Vamos encontrar f(x, y) = integral y e^x y , dx = e^x y + g(y) integrando em relação a :
Onde é uma função de apenas.

Passo 5

Agora, diferenciamos partial fpartial y = x e^x y + g'(y) = x e^x y em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos ignorar essa constante na integral.

Passo 6

Então, temos que . Agora, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Precisamos avaliar nos pontos final e inicial da curva .
A curva é dada por , com variando de 0 a 1.
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Aplicando o teorema:
integralC F cdot dr = f(2, 3) - f(0, 0) = e^2 cdot 3 - e^0 cdot 0 = e^6 - 1

Resposta

A integral vale .

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