Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Vamos analisar a série para determinar se ela converge ou diverge. Esse problema está relacionado ao estudo de séries infinitas, especificamente utilizando o Teste da Razão para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é a seguinte:
Seja a série . Calculamos o limite:
Se , a série converge.
Se ou é infinito, a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão à nossa série, temos:
Calculamos :
Passo 4
Agora, calculamos o quociente :
Simplificando as potências de 3 e 5:
Passo 5
Vamos simplificar mais a expressão:
Observando que , substituímos:
Passo 6
Dividimos numerador e denominador por para simplificar o limite:
Como tende ao infinito, e tendem a 0, porque cresce muito mais rápido que .
Portanto, o limite simplifica para:
Passo 7
Agora, aplicamos o resultado ao Teste da Razão:
Como é menor que 1, concluímos que a série converge.