Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Vamos analisar a série para determinar se ela converge ou diverge. Esse problema está relacionado ao estudo de séries infinitas, especificamente utilizando o Teste da Razão para verificar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é a seguinte:
Seja a série . Calculamos o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão à nossa série, temos:
Calculamos :

Passo 4

Agora, calculamos o quociente :
Simplificando as potências de 3 e 5:

Passo 5

Vamos simplificar mais a expressão:
Observando que , substituímos:

Passo 6

Dividimos numerador e denominador por para simplificar o limite:
Como tende ao infinito, e tendem a 0, porque cresce muito mais rápido que .
Portanto, o limite simplifica para:

Passo 7

Agora, aplicamos o resultado ao Teste da Razão:
Como é menor que 1, concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge.

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Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de : em .
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