Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty 3^n5^n+n

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty 3^n5^n+n para determinar se ela converge ou diverge. Esse problema está relacionado ao estudo de séries infinitas, especificamente utilizando o Teste da Razão para verificar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é a seguinte:
Seja a série sum an. Calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1 ou é infinito, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão à nossa série, temos:
an = 3^n5^n + n
Calculamos an+1:
an+1 = 3^n+15^n+1 + (n+1)

Passo 4

Agora, calculamos o quociente an+1an:
an+1an = 3^n+15^n+1 + (n+1)3^n5^n + n = 3^n+1 cdot (5^n + n)3^n cdot (5^n+1 + n + 1)
Simplificando as potências de 3 e 5:
= 3 cdot (5^n + n)5 cdot 5^n + n + 1
= 3(5^n + n)5^n+1 + n + 1

Passo 5

Vamos simplificar mais a expressão:
3(5^n + n)5 cdot 5^n + n + 1 = 3(5^n + n)5^n+1 + n + 1 = 3(5^n + n)5 cdot 5^n + n + 1
Observando que 5^n+1 = 5 cdot 5^n, substituímos:
= 3(5^n + n)5 cdot 5^n + n + 1 = 3(5^n + n)5^n+1 + n + 1

Passo 6

Dividimos numerador e denominador por 5^n para simplificar o limite:
= 3(1 + n5^n)5 cdot 1 + n + 15^n
Como n tende ao infinito, n5^n e n + 15^n tendem a 0, porque 5^n cresce muito mais rápido que n.
Portanto, o limite simplifica para:
L = limn to infty 3(1 + 0)5 + 0 = 35

Passo 7

Agora, aplicamos o resultado ao Teste da Razão:
L = 35 < 1
Como L é menor que 1, concluímos que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3^n5^n+n converge.

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