Descreva as superfícies de nível da função:
Passo 1
Vamos lá! A gente vai descrever as superfícies de nível da função
. Superfícies de nível são como “fatias” tridimensionais onde a função mantém um valor constante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de superfícies quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são superfícies de nível. São conjuntos de pontos
onde a função
é igual a uma constante
. Então, temos:
Aqui,
pode ser qualquer número real, positivo, negativo ou zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece para diferentes valores de
:
-
Quando
:
A equação fica:Isso representa um cone duplo, pois é como se tivéssemos dois cones se encontrando pelo vértice. -
Quando
:
A equação é:Nesse caso, a superfície é um hiperboloide de uma folha. Imagina uma forma que se expande infinitamente em todas as direções, como uma sela de montar. -
Quando
:
A equação fica:Aqui, a superfície é um hiperboloide de duas folhas. Pense em duas formas semelhantes a colheres ou funis que ficam separados um do outro.
Passo 4
Para resumir, dependendo do valor de
, a equação
representa diferentes tipos de superfícies:
-
: Cone duplo -
: Hiperboloide de uma folha -
: Hiperboloide de duas folhas
Resposta
As superfícies de nível da função
são:
- Um cone duplo quando
, - Um hiperboloide de uma folha quando
, - E um hiperboloide de duas folhas quando
.
Exercícios relacionados
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde
é a curva plana dada por
.
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.
Seja
Encontre e
.
Encontre
Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.
onde
é qualquer caminho diferenciável entre os pontos