Descreva as superfícies de nível da função:

Passo 1

Vamos lá! A gente vai descrever as superfícies de nível da função . Superfícies de nível são como “fatias” tridimensionais onde a função mantém um valor constante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de superfícies quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são superfícies de nível. São conjuntos de pontos onde a função é igual a uma constante . Então, temos:
Aqui, pode ser qualquer número real, positivo, negativo ou zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece para diferentes valores de :
  1. Quando :
    A equação fica:
    Isso representa um cone duplo, pois é como se tivéssemos dois cones se encontrando pelo vértice.
  2. Quando :
    A equação é:
    Nesse caso, a superfície é um hiperboloide de uma folha. Imagina uma forma que se expande infinitamente em todas as direções, como uma sela de montar.
  3. Quando :
    A equação fica:
    Aqui, a superfície é um hiperboloide de duas folhas. Pense em duas formas semelhantes a colheres ou funis que ficam separados um do outro.

Passo 4

Para resumir, dependendo do valor de , a equação representa diferentes tipos de superfícies:
  • : Cone duplo
  • : Hiperboloide de uma folha
  • : Hiperboloide de duas folhas

Resposta

As superfícies de nível da função são:
  • Um cone duplo quando ,
  • Um hiperboloide de uma folha quando ,
  • E um hiperboloide de duas folhas quando .

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Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais. onde é a curva plana dada por .
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de . em .
Seja
Encontre e .
Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral. onde é qualquer caminho diferenciável entre os pontos