Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais. onde é a curva plana dada por .

Passo 1

Então, vamos lá! O problema que você trouxe pede para calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar coisas ao longo de uma curva. A equação que temos é:
Aqui, é uma curva plana definida por para entre 0 e 1. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha para resolver isso. Para isso, precisamos entender um pouco sobre campos vetoriais e quando eles são conservativos, além de saber parametrizar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado pela integral:
Queremos verificar se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que:
Para isso, verificamos se as derivadas parciais de em relação a e de em relação a são iguais:
Como são iguais, o campo é conservativo, e podemos encontrar a função potencial .

Passo 3

Agora, vamos encontrar . Sabemos que:
Integrando isso em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .
Agora, usamos a segunda componente:
Comparando, temos:
Isso implica que , então é constante. Podemos escolher para simplificar.
Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial encontrada, podemos aplicar o Teorema Fundamental para integrais de linha, que nos diz que:
Onde é o ponto inicial e o ponto final da curva .
Nossa curva para de 0 a 1. Vamos encontrar os pontos e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos a função potencial nos pontos e :
Então, a integral de linha é:

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de . em .
Calcule os limites que se pede. Caso o limite não exista, justifique este fato.
Descreva as superfícies de nível da função:
Seja
Encontre e .