Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais. integralC y e^x y d x+x e^x y d y onde C é a curva plana dada por sigma(t)=(2 t, 3 t^2), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema que você trouxe pede para calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar coisas ao longo de uma curva. A equação que temos é:
integralC y e^x y , dx + x e^x y , dy
Aqui, é uma curva plana definida por para entre 0 e 1. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha para resolver isso. Para isso, precisamos entender um pouco sobre campos vetoriais e quando eles são conservativos, além de saber parametrizar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F(x, y) = ( y e^x y, , x e^x y ) dado pela integral:
F = nabla phi
Queremos verificar se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial partial F1partial y = e^x y + x y e^x y tal que:
partial F2partial x = e^x y + x y e^x y
Para isso, verificamos se as derivadas parciais de em relação a e de em relação a são iguais:
Como são iguais, o campo é conservativo, e podemos encontrar a função potencial .

Passo 3

Agora, vamos encontrar partial phipartial x = y e^x y . Sabemos que:
phi(x, y) = integral y e^x y , dx = e^x y + g(y)
Integrando isso em relação a partial phipartial y = x e^x y = partialpartial y ( e^x y + g(y) ) = x e^x y + g'(y) :
x e^x y = x e^x y + g'(y)
Onde phi(x, y) = e^x y é uma função que depende apenas de .
Agora, usamos a segunda componente:
Comparando, temos:
Isso implica que , então é constante. Podemos escolher para simplificar.
Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial encontrada, podemos aplicar o Teorema Fundamental para integrais de linha, que nos diz que:
integralC F cdot dr = phi(B) - phi(A)
Onde A = sigma(0) = (0, 0) é o ponto inicial e B = sigma(1) = (2, 3) o ponto final da curva .
Nossa curva para de 0 a 1. Vamos encontrar os pontos e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos a função potencial nos pontos phi(A) = phi(0, 0) = e^0 times 0 = e^0 = 1 e phi(B) = phi(2, 3) = e^2 times 3 = e^6 :
integralC F cdot dr = phi(B) - phi(A) = e^6 - 1
Então, a integral de linha é:

Resposta

A integral de linha vale .

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