Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde
é a curva plana dada por
.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema que você trouxe pede para calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar coisas ao longo de uma curva. A equação que temos é:
Aqui,
é uma curva plana definida por
para
entre 0 e 1. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha para resolver isso. Para isso, precisamos entender um pouco sobre campos vetoriais e quando eles são conservativos, além de saber parametrizar a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
dado pela integral:
Queremos verificar se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial
tal que:
Para isso, verificamos se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais:
Como são iguais, o campo é conservativo, e podemos encontrar a função potencial
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que:
Integrando isso em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Agora, usamos a segunda componente:
Comparando, temos:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos escolher
para simplificar.
Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial encontrada, podemos aplicar o Teorema Fundamental para integrais de linha, que nos diz que:
Onde
é o ponto inicial e
o ponto final da curva
.
Nossa curva
para
de 0 a 1. Vamos encontrar os pontos
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, aplicamos a função potencial nos pontos
e
:
Então, a integral de linha é:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.
Calcule os limites que se pede. Caso o limite não exista, justifique este fato.
Descreva as superfícies de nível da função:
Seja
Encontre e
.
Encontre