Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a). Interpretar geometricamente.
(h) f(x) = |x| ; a = -1, b = 1

Passo 1

Então, a gente tem a função no intervalo e precisa verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) se aplica. O TVM nos ajuda a encontrar um ponto dentro do intervalo onde a derivada da função é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos e . Para isso, precisamos que a função seja contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto .

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a função é contínua no intervalo . A função valor absoluto é contínua em todos os pontos, então está tudo certo aqui.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se é diferenciável em todo o intervalo aberto . A derivada de é:
Porém, em , a derivada não existe porque a função tem um “canto” ali, ou seja, não é diferenciável nesse ponto.

Passo 4

Como a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto — especificamente, não é diferenciável em — o Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado neste caso.

Resposta

O Teorema do Valor Médio não se aplica à função no intervalo , pois ela não é diferenciável em todo o intervalo aberto.

Exercícios relacionados

Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
© f(x) = { x², se x ≥ 2; 2x, se x < 2 }, [a, b] = [1, 4]
Calcule a integral tripla. integral triplaE x^2 e^y d V, onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z=1-y^2 e pelos planos z=0, x=-1 e x=1
Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:
(j) f(x) = { 10 - (x - 3)^2, x <= -2; 5(x - 1), -2 < x <= -1; -raiz(91 + (x - 2)^2), x > -1 }
Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(a) f(x)=x^3-6x^2+12x-7