Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número
em
tal que
. Interpretar geometricamente.
(h)
(h)
Passo 1
Então, a gente tem a função
no intervalo
e precisa verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) se aplica. O TVM nos ajuda a encontrar um ponto
dentro do intervalo onde a derivada da função é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos
e
. Para isso, precisamos que a função seja contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a função
é contínua no intervalo
. A função valor absoluto é contínua em todos os pontos, então está tudo certo aqui.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se
é diferenciável em todo o intervalo aberto
. A derivada de
é:
Porém, em
, a derivada não existe porque a função tem um “canto” ali, ou seja, não é diferenciável nesse ponto.
Passo 4
Como a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto
— especificamente, não é diferenciável em
— o Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado neste caso.
Resposta
O Teorema do Valor Médio não se aplica à função
no intervalo
, pois ela não é diferenciável em todo o intervalo aberto.