Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a). Interpretar geometricamente.
(h) f(x) = |x| ; a = -1, b = 1

Passo 1

Então, a gente tem a função no intervalo e precisa verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) se aplica. O TVM nos ajuda a encontrar um ponto dentro do intervalo onde a derivada da função é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos e . Para isso, precisamos que a função seja contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto .

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a função é contínua no intervalo . A função valor absoluto é contínua em todos os pontos, então está tudo certo aqui.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se é diferenciável em todo o intervalo aberto . A derivada de é:
Porém, em , a derivada não existe porque a função tem um “canto” ali, ou seja, não é diferenciável nesse ponto.

Passo 4

Como a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto — especificamente, não é diferenciável em — o Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado neste caso.

Resposta

O Teorema do Valor Médio não se aplica à função no intervalo , pois ela não é diferenciável em todo o intervalo aberto.

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