Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número em tal que . Interpretar geometricamente.
(h)
Passo 1
Então, a gente tem a função no intervalo e precisa verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) se aplica. O TVM nos ajuda a encontrar um ponto dentro do intervalo onde a derivada da função é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos e . Para isso, precisamos que a função seja contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto .
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a função é contínua no intervalo . A função valor absoluto é contínua em todos os pontos, então está tudo certo aqui.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se é diferenciável em todo o intervalo aberto . A derivada de é:
Porém, em , a derivada não existe porque a função tem um “canto” ali, ou seja, não é diferenciável nesse ponto.
Passo 4
Como a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto — especificamente, não é diferenciável em — o Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado neste caso.
Resposta
O Teorema do Valor Médio não se aplica à função no intervalo , pois ela não é diferenciável em todo o intervalo aberto.