Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
© f(x) = { x², se x ≥ 2; 2x, se x < 2 }, [a, b] = [1, 4]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) se aplica à função definida por partes no intervalo . O conteúdo envolve cálculo diferencial, especificamente a aplicação do TVM. Precisamos verificar se as condições do teorema são satisfeitas para poder concluir se o resultado do teorema vale nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as hipóteses do Teorema do Valor Médio. O TVM diz que se uma função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Então, nossas tarefas aqui são:
  1. Verificar se é contínua em .
  2. Verificar se é diferenciável em .
Precisamos passar por esses dois passos para ver se o TVM se aplica.

Passo 3

1. Verificando a continuidade de em :
A função é definida por duas expressões diferentes, dependendo de ou . Vamos conferir a continuidade em todo o intervalo:
  • Para : . Essa é uma função polinomial simples, que é contínua em todo lugar.
  • Para : . Também é uma função polinomial contínua.
  • No ponto de transição :
    • Limite pela esquerda:
    • Limite pela direita:
    • Valor da função em 2:
    Como os limites pela esquerda e direita são iguais e coincidem com o valor da função, é contínua em .
Portanto, é contínua em todo o intervalo .

Passo 4

2. Verificando a diferenciabilidade de em :
A função será diferenciável em todo ponto do intervalo aberto se for diferenciável em cada subintervalo e se a derivada existir no ponto de transição .
  • Para : . Derivada: .
  • Para : . Derivada: .
No ponto :
Precisamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Calculamos as derivadas pelas duas direções:
  • Derivada pela esquerda:
  • Derivada pela direita:
Como as derivadas laterais não são iguais ( ), a derivada não existe em .
Portanto, não é diferenciável em todo o intervalo porque a derivada não existe em .

Resposta

Não, as hipóteses do Teorema do Valor Médio não estão totalmente satisfeitas porque não é diferenciável em . Portanto, a conclusão do Teorema do Valor Médio não pode ser garantida para essa função no intervalo .

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