Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) se aplica à função definida por partes
no intervalo
. O conteúdo envolve cálculo diferencial, especificamente a aplicação do TVM. Precisamos verificar se as condições do teorema são satisfeitas para poder concluir se o resultado do teorema vale nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as hipóteses do Teorema do Valor Médio. O TVM diz que se uma função
é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Então, nossas tarefas aqui são:
- Verificar se
é contínua em . - Verificar se
é diferenciável em .
Precisamos passar por esses dois passos para ver se o TVM se aplica.
Passo 3
1. Verificando a continuidade de
em
:
A função
é definida por duas expressões diferentes, dependendo de
ou
. Vamos conferir a continuidade em todo o intervalo:
-
Para
: . Essa é uma função polinomial simples, que é contínua em todo lugar. -
Para
: . Também é uma função polinomial contínua. -
No ponto de transição
: - Limite pela esquerda:
- Limite pela direita:
- Valor da função em 2:
Como os limites pela esquerda e direita são iguais e coincidem com o valor da função,é contínua em . - Limite pela esquerda:
Portanto,
é contínua em todo o intervalo
.
Passo 4
2. Verificando a diferenciabilidade de
em
:
A função
será diferenciável em todo ponto do intervalo aberto
se for diferenciável em cada subintervalo e se a derivada existir no ponto de transição
.
- Para
: . Derivada: . - Para
: . Derivada: .
No ponto
:
Precisamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Calculamos as derivadas pelas duas direções:
- Derivada pela esquerda:
- Derivada pela direita:
Como as derivadas laterais não são iguais (
), a derivada não existe em
.
Portanto,
não é diferenciável em todo o intervalo
porque a derivada não existe em
.
Resposta
Não, as hipóteses do Teorema do Valor Médio não estão totalmente satisfeitas porque
não é diferenciável em
. Portanto, a conclusão do Teorema do Valor Médio não pode ser garantida para essa função no intervalo
.
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Calcule a integral tripla.
, onde
é delimitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D.
, onde
é limitada por
e
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número
em
tal que
. Interpretar geometricamente.
(h)
(h)
Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:
(j)
(j)