Calcule a integral tripla. , onde é delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular , onde a região é delimitada pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais em várias dimensões e entender como definir os limites de integração para a região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . O cilindro parabólico abre para baixo e intercepta o plano quando , isto é, quando . Então, varia de a . Os limites de são de a direto do enunciado. Para , para cada par , varia de até .
Passo 3
Vamos configurar a integral tripla com esses limites. A integral fica:
Aqui, estamos integrando primeiro em , depois em e por último em .
Passo 4
Integrando em relação a primeiro. Como não depende de , a integração fica:
Vamos separar os termos que dependem de y e de x para facilitar a integração.
Passo 6
Observando que x^2 não depende de y, podemos integrar em y primeiro:
integral-1^1 e^y (1 - y^2) , dy
Essa integral pode ser resolvida por partes ou conhecendo integrais padrões. A antiderivada de e^y (1 - y^2) é e^y (-y^2 + 2y - 2), então avaliando de -1 a 1: