Calcule a integral tripla. integral triplaE x^2 e^y d V, onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z=1-y^2 e pelos planos z=0, x=-1 e x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular integral triplaE x^2 e^y , dV, onde a região E é delimitada pelo cilindro parabólico z = 1 - y^2 e pelos planos z = 0, x = -1 e x = 1. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais em várias dimensões e entender como definir os limites de integração para a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região E. O cilindro parabólico z = 1 - y^2 abre para baixo e intercepta o plano z = 0 quando 1 - y^2 = 0, isto é, quando y = pm1. Então, y varia de -1 a 1. Os limites de x são de -1 a 1 direto do enunciado. Para z, para cada par (x, y), z varia de 0 até 1 - y^2.

Passo 3

Vamos configurar a integral tripla com esses limites. A integral fica:
integralx=-1^1 integraly=-1^1 integralz=0^1 - y^2 x^2 e^y , dz , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em z, depois em y e por último em x.

Passo 4

Integrando em relação a z primeiro. Como x^2 e^y não depende de z, a integração fica:
integral0^1 - y^2 x^2 e^y , dz = x^2 e^y cdot z |0^1 - y^2 = x^2 e^y (1 - y^2)

Passo 5

Agora, a integral reduzida é:
integral-1^1 integral-1^1 x^2 e^y (1 - y^2) , dy , dx
Vamos separar os termos que dependem de y e de x para facilitar a integração.

Passo 6

Observando que x^2 não depende de y, podemos integrar em y primeiro:
integral-1^1 e^y (1 - y^2) , dy
Essa integral pode ser resolvida por partes ou conhecendo integrais padrões. A antiderivada de e^y (1 - y^2) é e^y (-y^2 + 2y - 2), então avaliando de -1 a 1:
Para y = 1:
e^1 (-1 + 2 - 2) = e(-1) = -e
Para y = -1:
e^-1 (-1 + (-2) - 2) = e^-1(-5) = -5e^-1
Então, a integral em y é:
(-e) - (-5e^-1) = -e + 5e^-1

Passo 7

Agora, voltamos à integral em x:
integral-1^1 x^2 (-e + 5e^-1) , dx = (-e + 5e^-1) integral-1^1 x^2 , dx
A integral de x^2 de -1 a 1 é:
integral-1^1 x^2 , dx = [ x^33 ]-1^1 = 13 - ( -13 ) = 23

Passo 8

Multiplicando tudo:
(-e + 5e^-1) cdot 23 = 23 (-e + 5e)

Resposta

A integral tripla vale 23 ( -e + 5e ).

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