Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função e usar o teste da primeira derivada para determinar se esses pontos são extremos relativos (máximos ou mínimos). Para isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas e interpretar o teste da primeira derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função, e pontos críticos acontecem onde essa inclinação é zero ou não existe.
A função dada é:
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Isso nos dá:
Então, temos um ponto crítico em .
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico, vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois.
O teste da primeira derivada funciona assim:
Escolhemos valores de à esquerda e à direita do ponto crítico.
Avaliamos o sinal de nesses intervalos.
Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um máximo.
Se a derivada muda de negativa para positiva, temos um mínimo.
Se não houver mudança de sinal, não é extremo relativo.
Vamos escolher valores próximos a , por exemplo, e .
Para :
(positivo)
Para :
(positivo)
Passo 5
Observando os sinais:
À esquerda de 2 (), (positivo)
À direita de 2 (), (positivo)
A derivada é positiva tanto à esquerda quanto à direita de , ou seja, não há mudança de sinal. Isso significa que a função não tem um extremo relativo nesse ponto; não é um máximo nem um mínimo.
Resposta
A função possui um ponto crítico em . Usando o teste da primeira derivada, verificamos que não há mudança de sinal da derivada ao passar por esse ponto, portanto, não é um extremo relativo.