Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(a) f(x)=x^3-6x^2+12x-7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função e usar o teste da primeira derivada para determinar se esses pontos são extremos relativos (máximos ou mínimos). Para isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas e interpretar o teste da primeira derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função, e pontos críticos acontecem onde essa inclinação é zero ou não existe.
A função dada é:
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Isso nos dá:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico, vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois.
O teste da primeira derivada funciona assim:
  • Escolhemos valores de à esquerda e à direita do ponto crítico.
  • Avaliamos o sinal de nesses intervalos.
  • Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um máximo.
  • Se a derivada muda de negativa para positiva, temos um mínimo.
  • Se não houver mudança de sinal, não é extremo relativo.
Vamos escolher valores próximos a , por exemplo, e .
Para :
(positivo)
Para :
(positivo)

Passo 5

Observando os sinais:
  • À esquerda de 2 ( ), (positivo)
  • À direita de 2 ( ), (positivo)
A derivada é positiva tanto à esquerda quanto à direita de , ou seja, não há mudança de sinal. Isso significa que a função não tem um extremo relativo nesse ponto; não é um máximo nem um mínimo.

Resposta

A função possui um ponto crítico em . Usando o teste da primeira derivada, verificamos que não há mudança de sinal da derivada ao passar por esse ponto, portanto, não é um extremo relativo.

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(j) f(x) = { 10 - (x - 3)^2, x <= -2; 5(x - 1), -2 < x <= -1; -raiz(91 + (x - 2)^2), x > -1 }
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a). Interpretar geometricamente.
(h) f(x) = |x| ; a = -1, b = 1
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Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
(a) f(x) = x^(1/3), [a, b] = [-8, 1]