Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:
(j)
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, além de identificar os pontos de máximo e mínimo relativos. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função em cada intervalo definido.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que está dividida em três partes diferentes, cada uma válida em um intervalo específico de . Isso se chama função por partes. Vamos estudar cada parte separadamente para entender como ela se comporta.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada parte da função para descobrir onde ela está aumentando ou diminuindo. Lembrando que a derivada nos diz a inclinação da função:
Se , a função está crescendo.
Se , a função está decrescendo.
Vamos derivar cada pedaço:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Vamos agora analisar o sinal de cada derivada nos respectivos intervalos:
Para :
Vamos ver quando isso é positivo ou negativo:
Como já é menor que 3, . Então, a função está crescente nesse intervalo.
Para :
Aqui, a derivada é sempre positiva, então a função está crescente nesse intervalo também.
Para :
O denominador é sempre positivo, então o sinal da derivada depende de :
Se , então (decrescente).
Se , então (crescente).
Em , a derivada é zero.
Passo 5
Agora, vamos verificar os pontos onde a derivada muda de sinal, pois esses são candidatos a máximos ou mínimos:
Em :
Antes de , a função estava crescendo.
Depois de , a função continua crescendo.
Não há mudança de sinal, então não é nem máximo nem mínimo.
Em :
Antes de , a função estava crescendo.
Depois de , a função continua crescendo até , depois começa a decrescer.
Em , a derivada é zero e ocorre uma mudança de crescente para decrescente, indicando um máximo relativo.
Passo 6
Finalmente, vamos resumir tudo:
Intervalos de Crescimento:
Intervalos de Decrescimento:
Máximo Relativo:
Em
Mínimos Relativos:
Não há mínimos relativos nesse caso.
Resposta
A função está crescente nos intervalos , e , decrescente em , e possui um máximo relativo em .