Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:
(j) f(x) = { 10 - (x - 3)^2, x <= -2; 5(x - 1), -2 < x <= -1; -raiz(91 + (x - 2)^2), x > -1 }

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, além de identificar os pontos de máximo e mínimo relativos. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função em cada intervalo definido.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que está dividida em três partes diferentes, cada uma válida em um intervalo específico de . Isso se chama função por partes. Vamos estudar cada parte separadamente para entender como ela se comporta.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada parte da função para descobrir onde ela está aumentando ou diminuindo. Lembrando que a derivada nos diz a inclinação da função:
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Vamos derivar cada pedaço:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 4

Vamos agora analisar o sinal de cada derivada nos respectivos intervalos:
  1. Para :
    Vamos ver quando isso é positivo ou negativo:
    Como já é menor que 3, . Então, a função está crescente nesse intervalo.
  2. Para :
    Aqui, a derivada é sempre positiva, então a função está crescente nesse intervalo também.
  3. Para :
    O denominador é sempre positivo, então o sinal da derivada depende de :
    • Se , então (decrescente).
    • Se , então (crescente).
    • Em , a derivada é zero.

Passo 5

Agora, vamos verificar os pontos onde a derivada muda de sinal, pois esses são candidatos a máximos ou mínimos:
  • Em :
    • Antes de , a função estava crescendo.
    • Depois de , a função continua crescendo.
    • Não há mudança de sinal, então não é nem máximo nem mínimo.
  • Em :
    • Antes de , a função estava crescendo.
    • Depois de , a função continua crescendo até , depois começa a decrescer.
    • Em , a derivada é zero e ocorre uma mudança de crescente para decrescente, indicando um máximo relativo.

Passo 6

Finalmente, vamos resumir tudo:
  • Intervalos de Crescimento:
  • Intervalos de Decrescimento:
  • Máximo Relativo:
    • Em
  • Mínimos Relativos:
    • Não há mínimos relativos nesse caso.

Resposta

A função está crescente nos intervalos , e , decrescente em , e possui um máximo relativo em .

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