Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando o primeiro vetor é combinação linear dos vetores restantes:
© .

Passo 1

Vamos entender qual é o problema. Precisamos descobrir quando o primeiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros três vetores , e em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas de equações lineares e combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor como uma combinação linear dos outros três vetores. Isso significa que precisamos encontrar escalares , e tais que:

Passo 3

Expandindo a combinação linear, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. A primeira equação é simples:
A segunda equação também é direta:

Passo 5

Agora substituímos os valores de e na terceira e quarta equações:
Verificamos que ambos os valores de são iguais, o que confirma a consistência das soluções.

Resposta

O vetor é combinação linear dos vetores , e quando , e .

Exercícios relacionados

Seja dada por uma transformação linear tal que
onde é uma base do . Encontre a base do
Determinar de modo que os planos e sejam perpendiculares.
Determine o plano que passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e .
Seja . Mostre que a aplicação é um isomorfismo e conclua que