Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando o primeiro vetor é combinação linear dos vetores restantes:
© (1,3,5,7),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1) in R^4.

Passo 1

Vamos entender qual é o problema. Precisamos descobrir quando o primeiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros três vetores , e em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas de equações lineares e combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor (1,3,5,7) = a(1,0,1,0) + b(0,1,0,1) + c(0,0,1,1) como uma combinação linear dos outros três vetores. Isso significa que precisamos encontrar escalares , e tais que:

Passo 3

Expandindo a combinação linear, temos:
(1,3,5,7) = (a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0, a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0, a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1, a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 1)
Isso nos dá um sistema de equações:
1 = a 3 = b 5 = a + c 7 = b + c

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. A primeira equação é simples:
1 = a Rightarrow a = 1
A segunda equação também é direta:
3 = b Rightarrow b = 3

Passo 5

Agora substituímos os valores de 5 = 1 + c Rightarrow c = 4 e 7 = 3 + c Rightarrow c = 4 na terceira e quarta equações:
Verificamos que ambos os valores de são iguais, o que confirma a consistência das soluções.

Resposta

O vetor é combinação linear dos vetores , e quando , e .

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