Seja . Mostre que a aplicação é um isomorfismo e conclua que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que , ou seja, o espaço vetorial é a soma direta dos subespaços e . Vamos mostrar que a aplicação definida por é um isomorfismo. Além disso, vamos concluir que a dimensão de é igual à dimensão de menos a dimensão de .

Passo 2

Entendendo a Soma Direta :
Quando dizemos que , significa que cada elemento em pode ser escrito de forma única como a soma , onde e . Além disso, a interseção de e é apenas o vetor zero, ou seja, .

Passo 3

Definindo a Aplicação :
A aplicação está mapeando elementos de para o quociente . O quociente consiste nas classes de equivalência dos vetores de onde dois vetores são equivalentes se diferem por um elemento de .
A definição de significa que mapeamos em para a classe do coset em .

Passo 4

Mostrando que é Linear:
Para provar que é linear, precisamos verificar duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por Escalar:
Como , temos:
Portanto, é uma aplicação linear.

Passo 5

Mostrando que é Injetora:
Para ser injetora, precisamos que se , então .
Se , então , o que significa que .
Mas como , isso implica que , ou seja, .
Logo, é injetora.

Passo 6

Mostrando que é Sobrejetora:
Para ser sobrejetora, precisamos que todo elemento em seja imagem de algum elemento em .
Pegue uma classe qualquer em . Como , podemos escrever , onde e .
Então, (pois em ).
Portanto, , mostrando que é sobrejetora.

Passo 7

Concluindo que é um Isomorfismo:
Como é linear, injetora e sobrejetora, ela é um isomorfismo entre e .

Passo 8

Relacionando as Dimensões:
Sabemos que se há um isomorfismo entre dois espaços vetoriais, então eles têm a mesma dimensão. Portanto,
Além disso, pela homomorfia de dimensões, temos:
Substituindo por , obtemos:

Resposta

Portanto, mostramos que é um isomorfismo e concluímos que .

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Determine o plano que passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e .
Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando o primeiro vetor é combinação linear dos vetores restantes:
© .
Calcule os valores de e para que as matrizes A e B sejam iguais.
e
Sejam e espaços vetoriais de dimensão finita sobre o corpo . Sejam e bases de e respectivamente. Defina : como
Mostre que o conjunto é uma base de