Seja . Mostre que a aplicação é um isomorfismo e conclua que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que , ou seja, o espaço vetorial é a soma direta dos subespaços e . Vamos mostrar que a aplicação definida por é um isomorfismo. Além disso, vamos concluir que a dimensão de é igual à dimensão de menos a dimensão de .
Passo 2
Entendendo a Soma Direta :
Quando dizemos que , significa que cada elemento em pode ser escrito de forma única como a soma , onde e . Além disso, a interseção de e é apenas o vetor zero, ou seja, .
Passo 3
Definindo a Aplicação :
A aplicação está mapeando elementos de para o quociente . O quociente consiste nas classes de equivalência dos vetores de onde dois vetores são equivalentes se diferem por um elemento de .
A definição de significa que mapeamos em para a classe do coset em .
Passo 4
Mostrando que é Linear:
Para provar que é linear, precisamos verificar duas propriedades:
Adição:
Multiplicação por Escalar:
Como , temos:
Portanto, é uma aplicação linear.
Passo 5
Mostrando que é Injetora:
Para ser injetora, precisamos que se , então .
Se , então , o que significa que .
Mas como , isso implica que , ou seja, .
Logo, é injetora.
Passo 6
Mostrando que é Sobrejetora:
Para ser sobrejetora, precisamos que todo elemento em seja imagem de algum elemento em .
Pegue uma classe qualquer em . Como , podemos escrever , onde e .
Então, (pois em ).
Portanto, , mostrando que é sobrejetora.
Passo 7
Concluindo que é um Isomorfismo:
Como é linear, injetora e sobrejetora, ela é um isomorfismo entre e .
Passo 8
Relacionando as Dimensões:
Sabemos que se há um isomorfismo entre dois espaços vetoriais, então eles têm a mesma dimensão. Portanto,
Além disso, pela homomorfia de dimensões, temos:
Substituindo por , obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos que é um isomorfismo e concluímos que .