Determine o plano que passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o plano que passa pelo ponto e que é perpendicular aos planos e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o vetor normal de um plano e como usar o produto vetorial para determinar a perpendicularidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os vetores normais dos planos e . A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal ao plano.
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .
Passo 3
Como queremos um plano que seja perpendicular a ambos os planos dados, o vetor normal de deve ser perpendicular aos vetores normais de e . Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos, usamos o produto vetorial dos vetores e .
Vamos calcular :
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal de é .
Passo 4
Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa.