Determine o plano que passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o plano que passa pelo ponto e que é perpendicular aos planos e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o vetor normal de um plano e como usar o produto vetorial para determinar a perpendicularidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores normais dos planos e . A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal ao plano.
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .

Passo 3

Como queremos um plano que seja perpendicular a ambos os planos dados, o vetor normal de deve ser perpendicular aos vetores normais de e . Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos, usamos o produto vetorial dos vetores e .
Vamos calcular :
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal de é .

Passo 4

Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Então, a equação do plano é:

Resposta

O plano solicitado é .

Exercícios relacionados

Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando o primeiro vetor é combinação linear dos vetores restantes:
© .
Seja dada por uma transformação linear tal que
onde é uma base do . Encontre a base do
Seja . Mostre que a aplicação é um isomorfismo e conclua que
Calcule os valores de e para que as matrizes A e B sejam iguais.
e