Determine o plano que passa pelo ponto A=(4,1,-1) e é perpendicular aos planos pi1: 2 x+y-3 z=0 e x+y-2 z-3=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o plano que passa pelo ponto e que é perpendicular aos planos e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o vetor normal de um plano e como usar o produto vetorial para determinar a perpendicularidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores normais dos planos e . A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal ao plano.
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .

Passo 3

Como queremos um plano n = i & j & k 2 & 1 & -3 1 & 1 & -2 = i(1 cdot (-2) - (-3) cdot 1) - j(2 cdot (-2) - (-3) cdot 1) + k(2 cdot 1 - 1 cdot 1) que seja perpendicular a ambos os planos dados, o vetor normal de n = i((-2) + 3) - j((-4) + 3) + k(2 - 1) = i(1) - j(-1) + k(1) = (1, 1, 1) deve ser perpendicular aos vetores normais de e . Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos, usamos o produto vetorial dos vetores e .
Vamos calcular :
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal de é .

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o plano 1(x - 4) + 1(y - 1) + 1(z + 1) = 0 passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
(x - 4) + (y - 1) + (z + 1) = 0
x - 4 + y - 1 + z + 1 = 0
x + y + z - 4 = 0
Então, a equação do plano x + y + z = 4 é:

Resposta

O plano solicitado é .

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