Determinar m de modo que os planos pi1: 2 m x+2 y-z=0 e pi2=3 x-m y-2 z-1=0 sejam perpendiculares.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado. Queremos encontrar o valor de de forma que os planos e sejam perpendiculares. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional e a condição de perpendicularidade entre eles. Precisaremos trabalhar com os vetores normais dos planos.

Passo 2

A condição para que dois planos sejam perpendiculares é que seus vetores normais sejam perpendiculares. Os vetores normais dos planos são os coeficientes de , e nas equações dos planos.

Passo 3

Vamos identificar os vetores normais dos planos e :
  • Para : vetor normal
  • Para : vetor normal

Passo 4

Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for igual a zero. Assim, calculamos o produto escalar de n1 cdot n2 = (2m)(3) + (2)(-m) + (-1)(-2) = 0 e :

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
6m - 2m + 2 = 0 4m + 2 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação para 4m = -2 m = -12 :

Resposta

O valor de que torna os planos perpendiculares é .

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