onde B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) é uma base do R^3. Encontre a base C do R^4
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve transformações lineares e mudanças de base. Temos uma transformação linear [T]B, C = 1 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 definida por . Além disso, sabemos que a matriz dessa transformação em relação às bases e é:
Onde é uma base de . Nosso objetivo é encontrar a base para .
Para resolver isso, vamos precisar entender como as coordenadas das imagens dos vetores de na base estão relacionadas com a matriz .
Onde T(b1) = 1 cdot c1 + 1 cdot c2 + 0 cdot c3 + 0 cdot c4 = c1 + c2 é a base de T(b2) = 0 cdot c1 + 0 cdot c2 + 1 cdot c3 + 0 cdot c4 = c3 que queremos encontrar. Isso implica que cada T(b3) = -1 cdot c1 + 0 cdot c2 + 0 cdot c3 + 2 cdot c4 = -c1 + 2c4 pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de :
Substituindo as coordenadas encontradas:
Passo 5
Agora, sabemos que:
T(b1) = (0, 0, 2, 0) = c1 + c2
T(b2) = (-1, 1, 1, 0) = c3
T(b3) = (1, 0, -1, 1) = -c1 + 2c4
Podemos então escrever as equações correspondentes para cada componente:
Para c1 + c2 = 0 0 2 0 :
c3 = -1 1 1 0
Para -c1 + 2c4 = 1 0 -1 1 :
Para :
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar c3 = -1 1 1 0 .
Primeiro, de c2 = 0 0 2 0 - c1 , já temos:
-c1 + 2c4 = 1 0 -1 1
Agora, de 2c4 = c1 + 1 0 -1 1 , podemos expressar c4 = 12c1 + 12 1 0 -1 1 em termos de :
Substituindo isso na equação de :
Podemos isolar :
Passo 7
Agora, precisamos escolher um valor para c1 = 1 0 0 0 . Para simplificar, vamos assumir que c2 = 0 0 2 0 - 1 0 0 0 = -1 0 2 0 tem uma das coordenadas igual a 1 e as demais igual a 0, garantindo a independência linear. Suponha: