Seja T: R^3 R^4 dada por T(x, y, z)=(x-y+z, y-x, x+y-z, z) uma transformação linear tal que
[T]B, C=[ccc 1 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 ]
onde B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) é uma base do R^3. Encontre a base C do R^4

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve transformações lineares e mudanças de base. Temos uma transformação linear [T]B, C = 1 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 definida por . Além disso, sabemos que a matriz dessa transformação em relação às bases e é:
Onde é uma base de . Nosso objetivo é encontrar a base para .
Para resolver isso, vamos precisar entender como as coordenadas das imagens dos vetores de na base estão relacionadas com a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(b1) = T(1, 1, 0) = (1 - 1 + 0, 1 - 1, 1 + 1 - 0, 0) = (0, 0, 2, 0) aos vetores da base T(b2) = T(0, 1, 0) = (0 - 1 + 0, 1 - 0, 0 + 1 - 0, 0) = (-1, 1, 1, 0) . Seja T(b3) = T(0, 0, 1) = (0 - 0 + 1, 0 - 0, 0 + 0 - 1, 1) = (1, 0, -1, 1) , e . Calculando para cada :

Passo 3

Sabemos que a matriz [T]B, C = | & | & | [T(b1)]C & [T(b2)]C & [T(b3)]C | & | & | = 1 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 tem suas colunas correspondendo às coordenadas das imagens [T(b1)]C = 1 1 0 0 , [T(b2)]C = 0 0 1 0 , [T(b3)]C = -1 0 0 2 na base . Ou seja:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos relacionar essas coordenadas com os próprios vetores [T(bi)]C = c1i c2i c3i c4i . Sabemos que:
T(bi) = c1i cdot c1 + c2i cdot c2 + c3i cdot c3 + c4i cdot c4
Onde T(b1) = 1 cdot c1 + 1 cdot c2 + 0 cdot c3 + 0 cdot c4 = c1 + c2 é a base de T(b2) = 0 cdot c1 + 0 cdot c2 + 1 cdot c3 + 0 cdot c4 = c3 que queremos encontrar. Isso implica que cada T(b3) = -1 cdot c1 + 0 cdot c2 + 0 cdot c3 + 2 cdot c4 = -c1 + 2c4 pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de :
Substituindo as coordenadas encontradas:

Passo 5

Agora, sabemos que:
T(b1) = (0, 0, 2, 0) = c1 + c2
T(b2) = (-1, 1, 1, 0) = c3
T(b3) = (1, 0, -1, 1) = -c1 + 2c4
Podemos então escrever as equações correspondentes para cada componente:
Para c1 + c2 = 0 0 2 0 :
c3 = -1 1 1 0
Para -c1 + 2c4 = 1 0 -1 1 :
Para :

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar c3 = -1 1 1 0 .
Primeiro, de c2 = 0 0 2 0 - c1 , já temos:
-c1 + 2c4 = 1 0 -1 1
Agora, de 2c4 = c1 + 1 0 -1 1 , podemos expressar c4 = 12c1 + 12 1 0 -1 1 em termos de :
Substituindo isso na equação de :
Podemos isolar :

Passo 7

Agora, precisamos escolher um valor para c1 = 1 0 0 0 . Para simplificar, vamos assumir que c2 = 0 0 2 0 - 1 0 0 0 = -1 0 2 0 tem uma das coordenadas igual a 1 e as demais igual a 0, garantindo a independência linear. Suponha:
c4 = 12 1 0 0 0 + 12 1 0 -1 1 = 1 0 -12 12
Então,
E,

Passo 8

Agora, temos todos os vetores de c1 = 1 0 0 0 , c2 = -1 0 2 0 , c3 = -1 1 1 0 , c4 = 1 0 -12 12 :

Resposta

A base C = 1 0 0 0 , -1 0 2 0 , -1 1 1 0 , 1 0 -12 12 de é:

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