Seja dada por uma transformação linear tal que
onde é uma base do . Encontre a base do

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve transformações lineares e mudanças de base. Temos uma transformação linear definida por . Além disso, sabemos que a matriz dessa transformação em relação às bases e é:
Onde é uma base de . Nosso objetivo é encontrar a base para .
Para resolver isso, vamos precisar entender como as coordenadas das imagens dos vetores de na base estão relacionadas com a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação aos vetores da base . Seja , e . Calculando para cada :

Passo 3

Sabemos que a matriz tem suas colunas correspondendo às coordenadas das imagens na base . Ou seja:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos relacionar essas coordenadas com os próprios vetores . Sabemos que:
Onde é a base de que queremos encontrar. Isso implica que cada pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de :
Substituindo as coordenadas encontradas:

Passo 5

Agora, sabemos que:
Podemos então escrever as equações correspondentes para cada componente:
Para :
Para :
Para :

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar .
Primeiro, de , já temos:
Agora, de , podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na equação de :
Podemos isolar :

Passo 7

Agora, precisamos escolher um valor para . Para simplificar, vamos assumir que tem uma das coordenadas igual a 1 e as demais igual a 0, garantindo a independência linear. Suponha:
Então,
E,

Passo 8

Agora, temos todos os vetores de :

Resposta

A base de é:

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Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando o primeiro vetor é combinação linear dos vetores restantes:
© .
Determine o plano que passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e .