Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando o primeiro vetor é combinação linear dos vetores restantes:
(a) (1,2,3),(1,0,1),(2,1,0) in R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o primeiro vetor, que é (1,2,3), pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois vetores, ou seja, (1,0,1) e (2,1,0). Isso envolve o conteúdo de combinação linear na álgebra linear. Para resolver isso, vamos ver se existem números (chamados de coeficientes) que, quando multiplicados pelos vetores restantes e somados, dão o primeiro vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Se queremos que (1,2,3) seja uma combinação linear de (1,0,1) e (2,1,0), isso pode ser expresso da seguinte forma:
(1,2,3) = a(1,0,1) + b(2,1,0)
Aqui, a e b são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos expandir a equação acima multiplicando os coeficientes pelos vetores:
(1,2,3) = (a cdot 1 + b cdot 2, a cdot 0 + b cdot 1, a cdot 1 + b cdot 0)
Isso resulta no sistema de equações:
1 = a + 2b 2 = 0a + b 3 = a + 0b

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, da segunda equação:
2 = b Rightarrow b = 2
Agora que sabemos o valor de b, podemos substituir na terceira equação:
3 = a + 0 cdot b Rightarrow a = 3

Passo 5

Com os valores de a e b encontrados, vamos verificar se eles satisfazem a primeira equação:
1 = a + 2b = 3 + 2 cdot 2 = 3 + 4 = 7
Mas, 1 neq 7, o que significa que não há consistência nas equações. Isso indica que não existem valores de a e b que façam a primeira equação verdadeira ao mesmo tempo que as outras.

Resposta

Não, o vetor (1,2,3) não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,0,1) e (2,1,0).

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