Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando o primeiro vetor é combinação linear dos vetores restantes:
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o primeiro vetor, que é , pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois vetores, ou seja, e . Isso envolve o conteúdo de combinação linear na álgebra linear. Para resolver isso, vamos ver se existem números (chamados de coeficientes) que, quando multiplicados pelos vetores restantes e somados, dão o primeiro vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Se queremos que seja uma combinação linear de e , isso pode ser expresso da seguinte forma:
Aqui, e são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos expandir a equação acima multiplicando os coeficientes pelos vetores:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, da segunda equação:
2 = b Rightarrow b = 2
Agora que sabemos o valor de b, podemos substituir na terceira equação:
3 = a + 0 cdot b Rightarrow a = 3
Passo 5
Com os valores de a e b encontrados, vamos verificar se eles satisfazem a primeira equação:
1 = a + 2b = 3 + 2 cdot 2 = 3 + 4 = 7
Mas, 1 neq 7, o que significa que não há consistência nas equações. Isso indica que não existem valores de a e b que façam a primeira equação verdadeira ao mesmo tempo que as outras.
Resposta
Não, o vetor (1,2,3)não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,0,1) e (2,1,0).