Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços vetoriais de R^3 ?
(d) (x, y, z) in R^3: y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o conjunto (x, y, z) in R^3: y >= 0 é um subespaço vetorial de R^3. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se esse conjunto satisfaz os três requisitos para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Aqui, y = 0, que é maior ou igual a zero. Então, o vetor zero está incluído no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição de vetores. Suponha que temos dois vetores no conjunto: (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2), onde y1 >= 0 e y2 >= 0. Se adicionarmos esses dois vetores, obtemos (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Como y1 e y2 são maiores ou iguais a zero, a soma y1 + y2 também será maior ou igual a zero. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado ainda deve estar no conjunto. Considere o vetor (x, y, z) com y >= 0 e multiplique por um escalar c.
  • Se c for positivo, então c cdot y >= 0, então tudo bem.
  • Mas se c for negativo, então c cdot y <= 0. Ou seja, y fica negativo, o que violaria a condição y >= 0.
Então, quando multiplicamos por um escalar negativo, o vetor resultante não está mais no conjunto.

Resposta

Como o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de R^3.

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