Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais de
?
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se esse conjunto satisfaz os três requisitos para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em
é
. Aqui,
, que é maior ou igual a zero. Então, o vetor zero está incluído no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição de vetores. Suponha que temos dois vetores no conjunto:
e
, onde
e
. Se adicionarmos esses dois vetores, obtemos
. Como
e
são maiores ou iguais a zero, a soma
também será maior ou igual a zero. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado ainda deve estar no conjunto. Considere o vetor
com
e multiplique por um escalar
.
- Se
for positivo, então , então tudo bem. - Mas se
for negativo, então . Ou seja, fica negativo, o que violaria a condição .
Então, quando multiplicamos por um escalar negativo, o vetor resultante não está mais no conjunto.
Resposta
Como o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de
.