Mostre que a matriz [cc4 & -4 -6 & 16] pode ser escrita como combinação linear das matrizes A=[ll1 & 2 3 & 4], B=[cc-1 & 2 3 & -4] e C=[cc1 & -2 -3 & 4].

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos mostrar que a matriz 4 & -4 -6 & 16 pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes A = 1 & 2 3 & 4, B = -1 & 2 3 & -4 e C = 1 & -2 -3 & 4. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear, que envolve encontrar coeficientes que multipliquem as matrizes dadas para chegar à matriz desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existem números reais x, y e z tais que:
xA + yB + zC = 4 & -4 -6 & 16
Isso significa que:
x1 & 2 3 & 4 + y-1 & 2 3 & -4 + z1 & -2 -3 & 4 = 4 & -4 -6 & 16

Passo 3

Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes:
x cdot 1 & x cdot 2 x cdot 3 & x cdot 4 + y cdot (-1) & y cdot 2 y cdot 3 & y cdot (-4) + z cdot 1 & z cdot (-2) z cdot (-3) & z cdot 4 = 4 & -4 -6 & 16
Somando as matrizes, obtemos:
x - y + z & 2x + 2y - 2z 3x + 3y - 3z & 4x - 4y + 4z = 4 & -4 -6 & 16

Passo 4

Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes, formando um sistema de equações:
  1. x - y + z = 4
  2. 2x + 2y - 2z = -4
  3. 3x + 3y - 3z = -6
  4. 4x - 4y + 4z = 16

Passo 5

Vamos simplificar as equações:
  1. x - y + z = 4
  2. Dividindo a segunda equação por 2: x + y - z = -2
  3. Dividindo a terceira equação por 3: x + y - z = -2
  4. Dividindo a quarta equação por 4: x - y + z = 4
Observamos que as equações 1 e 4 são iguais, e as equações 2 e 3 também são iguais, indicando que temos duas equações com três incógnitas.

Passo 6

Vamos resolver o sistema formado pelas duas equações:
  1. x - y + z = 4
  2. x + y - z = -2
Somando as duas equações:
(x - y + z) + (x + y - z) = 4 + (-2) 2x = 2 x = 1

Passo 7

Substituindo x = 1 na segunda equação:
1 + y - z = -2 y - z = -3 y = z - 3

Passo 8

Substituindo x = 1 e y = z - 3 na primeira equação:
1 - (z - 3) + z = 4 1 - z + 3 + z = 4 4 = 4
Essa equação confirma que nossa solução está correta, mas não nos dá um valor específico para z. Isso significa que há infinitas soluções, e podemos escolher um valor para z.

Passo 9

Vamos escolher z = 0 para simplificar:
y = 0 - 3 y = -3 x = 1

Resposta

Uma combinação linear que satisfaz a condição é:
x &= 1 y &= -3 z &= 0
Portanto,
1A - 3B + 0C = 4 & -4 -6 & 16

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