Mostre que a matriz
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos mostrar que a matriz
pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear, que envolve encontrar coeficientes que multipliquem as matrizes dadas para chegar à matriz desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que existem números reais
,
e
tais que:
Isso significa que:
Passo 3
Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes:
Somando as matrizes, obtemos:
Passo 4
Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes, formando um sistema de equações:
Passo 5
Vamos simplificar as equações:
-
- Dividindo a segunda equação por 2:
- Dividindo a terceira equação por 3:
- Dividindo a quarta equação por 4:
Observamos que as equações 1 e 4 são iguais, e as equações 2 e 3 também são iguais, indicando que temos duas equações com três incógnitas.
Passo 6
Vamos resolver o sistema formado pelas duas equações:
Somando as duas equações:
Passo 7
Substituindo
na segunda equação:
Passo 8
Substituindo
e
na primeira equação:
Essa equação confirma que nossa solução está correta, mas não nos dá um valor específico para
. Isso significa que há infinitas soluções, e podemos escolher um valor para
.
Passo 9
Vamos escolher
para simplificar:
Resposta
Uma combinação linear que satisfaz a condição é:
Portanto,