Determinar equações paramétricas das retas que passam por: e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos e dos ;
21. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
a) e r2: x2=y+61=z-11
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o ângulo entre duas retas dadas pelas equações:
r1:lx=-2-t y=t z=3-2 t
e
r2: x2=y+61=z-11
Estamos lidando com geometria vetorial, especificamente com o cálculo do ângulo entre duas retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar identificar os vetores diretores de cada reta e, em seguida, usar a fórmula que relaciona o ângulo entre esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta l x = -2 - t y = t z = 3 - 2t . A equação paramétrica de u = -1 1 -2 é:
Aqui, o parâmetro é . Os coeficientes de nas equações de , e nos dão as componentes do vetor diretor. Portanto, o vetor diretor de é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta x2 = y + 61 = z - 11 . A equação de v = 2 1 1 está na forma simétrica:
Os denominadores correspondem às direções das variáveis , e . Assim, o vetor diretor de é:
Passo 4
Com os vetores diretores u cdot v = (-1)(2) + (1)(1) + (-2)(1) = -2 + 1 - 2 = -3 e identificados, vamos calcular o produto escalar entre eles. O produto escalar é dado por:
Passo 5
Em seguida, precisamos calcular os módulos (ou normas) dos vetores ax ay az e |a| = raizax^2 + ay^2 + az^2 . A norma de um vetor |u| = raiz(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 é:
|v| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Calculando para :
E para :
Passo 6
Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = -3raiz6 times raiz6 = -36 = -0,5
Para encontrar o ângulo theta = arccos(-0,5) = 120^circ , tiramos o arco cosseno de -0,5: