Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando o primeiro vetor é combinação linear dos vetores restantes:
(b) x^3+2 x^2+3 x+1 ; x^3 ; x^2+3 x ; x^2+1 in P4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quando o primeiro polinômio é uma combinação linear dos outros três. Estamos trabalhando no espaço dos polinômios de grau até 3, denotado por x^3+2 x^2+3 x+1 = a cdot x^3 + b cdot (x^2+3 x) + c cdot (x^2+1) . Para resolver isso, vamos usar a ideia de combinação linear, que basicamente significa que a gente quer encontrar coeficientes , e tais que:

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a equação para facilitar a comparação dos termos:
x^3+2 x^2+3 x+1 = a x^3 + b x^2 + 3b x + c x^2 + c
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
x^3+2 x^2+3 x+1 = a x^3 + (b + c) x^2 + 3b x + c

Passo 3

Agora, para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de a = 1 (coeficiente de x^3) b + c = 2 (coeficiente de x^2) 3b = 3 (coeficiente de x) c = 1 (termo constante) , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da terceira equação:
  2. Da quarta equação:
  3. Da segunda equação: (confirmação)
  4. Da primeira equação:

Resposta

Portanto, o polinômio é uma combinação linear dos polinômios , e quando os coeficientes são , e .

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