Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando o primeiro vetor é combinação linear dos vetores restantes:
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quando o primeiro polinômio é uma combinação linear dos outros três. Estamos trabalhando no espaço dos polinômios de grau até 3, denotado por . Para resolver isso, vamos usar a ideia de combinação linear, que basicamente significa que a gente quer encontrar coeficientes , e tais que:
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a equação para facilitar a comparação dos termos:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da terceira equação:
Da quarta equação:
Da segunda equação: (confirmação)
Da primeira equação:
Resposta
Portanto, o polinômio é uma combinação linear dos polinômios , e quando os coeficientes são , e .