Determine o valor de
para que seja de 30 o angulo entre as retas:
24. Sabendo que as retas
e
são ortogonais, determine o valor de
.
24. Sabendo que as retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois exercícios de geometria envolvendo retas no espaço. No primeiro, a gente precisa encontrar o valor de
para que o ângulo entre duas retas seja de 30 graus. No segundo, o objetivo é descobrir o valor de
sabendo que duas retas são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus. Para isso, vamos usar vetores diretores das retas e aplicar fórmulas de produto escalar.
Passo 2
Primeiro Exercício: Encontrar
para que o ângulo entre as retas seja de 30 graus.
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas
e
.
Para a reta
:
A equação está na forma simétrica:
A equação está na forma simétrica:
Podemos escrever as equações paramétricas:
Então, o vetor diretor da reta
é:
Para a reta
:
As equações são:
As equações são:
Vamos parametrizar com
:
Então, o vetor diretor da reta
é:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do ângulo entre duas retas:
Sabemos que
, então
.
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Depois, calculamos as magnitudes dos vetores:
Passo 4
Substituindo na fórmula do cosseno:
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 5:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar a fração:
Reorganizando:
Dividindo por -2:
Fatorando:
Portanto,
ou
.
Passo 5
Segundo Exercício: Determinar
sabendo que as retas
e
são ortogonais.
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas
e
.
Para a reta
:
As equações paramétricas são:
As equações paramétricas são:
O vetor diretor da reta
é:
Para a reta
:
As equações são:
As equações são:
Vamos parametrizar com
:
Então, o vetor diretor da reta
é:
Passo 6
Como as retas são ortogonais, o ângulo entre elas é de 90 graus. Logo, o produto escalar dos vetores diretores deve ser zero:
Calculando o produto escalar:
Resposta
O valor de
é
.