Determine o valor de n para que seja de 30 o angulo entre as retas: r1: x-24=y5=z3 e r2:ly=n x+5 z=2 x-2
24. Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determine o valor de m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois exercícios de geometria envolvendo retas no espaço. No primeiro, a gente precisa encontrar o valor de para que o ângulo entre duas retas seja de 30 graus. No segundo, o objetivo é descobrir o valor de sabendo que duas retas são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus. Para isso, vamos usar vetores diretores das retas e aplicar fórmulas de produto escalar.

Passo 2

Primeiro Exercício: Encontrar x-24 = y5 = z3 = t para que o ângulo entre as retas seja de 30 graus.
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas x = 4t + 2 e y = 5t .
Para a reta z = 3t :
A equação está na forma simétrica:
u = (4, 5, 3)
Podemos escrever as equações paramétricas:
y = nx + 5
z = 2x - 2
y = nt + 5
Então, o vetor diretor da reta z = 2t - 2 é:
v = (1, n, 2)
Para a reta :
As equações são:
Vamos parametrizar com :
Então, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do ângulo entre duas retas:
cos theta = |u cdot v||u| cdot |v|
Sabemos que u cdot v = 4 cdot 1 + 5 cdot n + 3 cdot 2 = 4 + 5n + 6 = 5n + 10 , então |u| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 = 5raiz2 .
Primeiro, calculamos o produto escalar |v| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5 :
Depois, calculamos as magnitudes dos vetores:

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno:
5n + 105raiz2 cdot raizn^2 + 5 = raiz32
Vamos resolver para 5n + 10 = raiz32 cdot 5raiz2 cdot raizn^2 + 5 :
Multiplicando ambos os lados por 5n + 10 = 5raiz62 cdot raizn^2 + 5 :
n + 2 = raiz62 cdot raizn^2 + 5
Simplificando:
(n + 2)^2 = (raiz62)^2 (n^2 + 5)
Dividindo ambos os lados por 5:
n^2 + 4n + 4 = 64 (n^2 + 5)
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
4n^2 + 16n + 16 = 6n^2 + 30
4n^2 + 16n + 16 - 6n^2 - 30 = 0
Multiplicando tudo por 4 para eliminar a fração:
-2n^2 + 16n - 14 = 0
Reorganizando:
n^2 - 8n + 7 = 0
(n - 7)(n - 1) = 0
Dividindo por -2:
Fatorando:
Portanto, ou .

Passo 5

Segundo Exercício: Determinar x = 2mt - 3 sabendo que as retas y = 1 + 3t e z = -4t são ortogonais.
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas u = (2m, 3, -4) e x = 2y - 1 .
Para a reta z = -y + 4 :
As equações paramétricas são:
x = 2t - 1
z = -t + 4
v = (2, 1, -1)
O vetor diretor da reta é:
Para a reta :
As equações são:
Vamos parametrizar com :
Então, o vetor diretor da reta é:

Passo 6

Como as retas são ortogonais, o ângulo entre elas é de 90 graus. Logo, o produto escalar dos vetores diretores deve ser zero:
u cdot v = 0
Calculando o produto escalar:
(2m) cdot 2 + 3 cdot 1 + (-4) cdot (-1) = 0
4m + 3 + 4 = 0
4m + 7 = 0
4m = -7
m = -74

Resposta

O valor de é .

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