Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando os vetores são linearmente independentes:
(a) (1,2,3),(1,0,1),(2,1,0) in R^3.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede para saber quando os vetores (1,2,3), (1,0,1) e (2,1,0) em R^3 são linearmente independentes. Basicamente, estamos trabalhando com álgebra linear, e vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes. Vamos ver passo a passo como descobrir isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Em termos simples, os vetores são linearmente independentes se nenhum deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para verificar isso, uma maneira prática é montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz usando os vetores como colunas:
A = 1 & 1 & 2 2 & 0 & 1 3 & 1 & 0
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. A fórmula para o determinante de uma matriz 3 times 3 é:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Onde:
A = a & b & c d & e & f g & h & i

Passo 4

Aplicando os valores da nossa matriz:
det(A) = 1(0 cdot 0 - 1 cdot 1) - 1(2 cdot 0 - 1 cdot 3) + 2(2 cdot 1 - 0 cdot 3)
Calculando cada parte:
= 1(0 - 1) - 1(0 - 3) + 2(2 - 0)
= 1(-1) - 1(-3) + 2(2)
= -1 + 3 + 4
= 6

Passo 5

Agora que temos o determinante igual a 6, que é diferente de zero, isso significa que a matriz é inversível e, portanto, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores (1,2,3), (1,0,1) e (2,1,0) em R^3 são linearmente independentes.

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