Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando os vetores são linearmente independentes:
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar quando os vetores , e são linearmente independentes no espaço dos polinômios . Para isso, vamos precisar usar conceitos de independência linear e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos uma combinação , a única solução será .
Passo 3
Agora, vamos escrever a combinação linear dos vetores fornecidos:
Vamos expandir essa expressão:
Passo 4
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Se , então e
Passo 6
Como a única solução para o sistema é , concluímos que os vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.