Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando os vetores são linearmente independentes:
(d) x^2+1, x+1, x^2+x in P3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar quando os vetores , e são linearmente independentes no espaço dos polinômios . Para isso, vamos precisar usar conceitos de independência linear e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos uma combinação , a única solução será .

Passo 3

Agora, vamos escrever a combinação linear dos vetores fornecidos:
a(x^2 + 1) + b(x + 1) + c(x^2 + x) = 0
Vamos expandir essa expressão:
a x^2 + a + b x + b + c x^2 + c x = 0

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + c) x^2 + (b + c) x + (a + b) = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo a + c = 0 b + c = 0 a + b = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:
  4. Se , então e

Passo 6

Como a única solução para o sistema é , concluímos que os vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes em .

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