Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base do espaço solução de um sistema linear homogêneo e também determinar a dimensão desse espaço. Estamos lidando com um sistema de equações que tem três variáveis: , e . O sistema é o seguinte:
Vamos precisar usar álgebra linear, especificamente o método de redução de sistema, para simplificar as equações e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, observamos que o sistema é homogêneo, ou seja, todas as equações são iguais a zero. Isso significa que a solução trivial 1 & -3 & 1 2 & -6 & 2 3 & -9 & 3 sempre existe, mas queremos encontrar todas as soluções possíveis.
Vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
Agora, vamos usar eliminação de Gauss para simplificar essa matriz.
Passo 3
Primeiro, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição 2 - 2 times 1 = 0 -6 - 2 times (-3) = 0 2 - 2 times 1 = 0 ).
Linha 2: Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2:
3 - 3 times 1 = 0 -9 - 3 times (-3) = 0 3 - 3 times 1 = 0
Então, a Linha 2 fica: 1 & -3 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Linha 3: Subtraímos 3 vezes a Linha 1 da Linha 3:
Então, a Linha 3 também fica:
Agora, nossa matriz está assim:
Passo 4
Com a matriz simplificada, vemos que temos apenas uma equação independente:
x1 - 3x2 + x3 = 0
Isso significa que podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Normalmente, escolhemos expressar uma variável em função das que queremos tratar como livres.
Vamos resolver para x1 = 3x2 - x3 :
Passo 5
Agora, identificamos que temos duas variáveis livres: x1 = 3s - t x2 = s x3 = t e . Isso ocorre porque temos três variáveis e apenas uma equação independente.
Vamos chamar:
(onde é um parâmetro livre)
(onde é outro parâmetro livre)
Então, a solução geral pode ser escrita como:
Passo 6
Podemos expressar a solução em termos de vetores:
x1 x2 x3 = s 3 1 0 + t -1 0 1
Aqui, e são escalares que podem assumir qualquer valor real.
Passo 7
Uma base do espaço solução é o conjunto de vetores que multiplicados pelos escalares 3 1 0 , -1 0 1 e geram todas as possíveis soluções. Então, a base é formada pelos vetores:
Resposta
Uma base do espaço solução é 3 1 0 e a dimensão desse espaço é 2.