Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.
a)
rrrr x1 & +x2 & -x3 & =0 -2 x1 & -x2 & +2 x3 & =0 -x1 & & +x3 & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneo juntos! O que precisamos aqui é encontrar uma base para o espaço solução desse sistema e descobrir qual é a dimensão desse espaço. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema e identificar as variáveis livres. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & 1 & -1 & | & 0 -2 & -1 & 2 & | & 0 -1 & 0 & 1 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linha para transformar a matriz em forma escalonada. Nosso objetivo é ter zeros abaixo dos pivôs.
  • Linha 2: Adicionar 2 vezes a Linha 1 à Linha 2.
1 & 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 -1 & 0 & 1 & | & 0
  • Linha 3: Adicionar a Linha 1 à Linha 3.
1 & 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & 0

Passo 4

Percebi que a Linha 3 é igual à Linha 2, então podemos eliminá-la para simplificar:
1 & 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 5

Agora, temos um sistema mais simples:
Vamos resolver a partir dessas equações. Da segunda equação, já sabemos que .

Passo 6

Substituindo x1 - x3 = 0 implies x1 = x3 na primeira equação:

Passo 7

Vamos definir x1 = t x2 = 0 x3 = t como uma variável livre, digamos x1 x2 x3 = t 1 0 1 . Então:
Podemos escrever o vetor solução como:

$$

t
$$

Resposta

Uma base do espaço solução é o conjunto 1 0 1 e a dimensão desse espaço é 1.

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