Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
(b) O conjunto de todas as funções reais tais que f(0)=f(1).

Passo 1

Então, a gente tem que ver se o conjunto de todas as funções reais que satisfazem forma um espaço vetorial sobre os números reais. Pra isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais, que envolvem verificar se a soma de duas funções desse conjunto também está no conjunto e se a multiplicação de uma função por um escalar mantém a função dentro do conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a soma de duas funções (f + g)(0) = f(0) + g(0) = f(1) + g(1) = (f + g)(1) e que pertencem ao conjunto também pertence ao conjunto. Ou seja, se e , então queremos ver se .
Calculando:
Então, a soma de e também satisfaz , ou seja, pertence ao conjunto.

Passo 3

Agora, vamos ver a multiplicação de uma função (c cdot f)(0) = c cdot f(0) = c cdot f(1) = (c cdot f)(1) do conjunto por um escalar real. Precisamos checar se .
Calculando:
Assim, a função também satisfaz , ou seja, pertence ao conjunto.

Passo 4

Além disso, é importante lembrar que a função zero, que atribui zero a todo ponto, também está no conjunto porque . E as demais propriedades dos espaços vetoriais, como associatividade e distributividade, são herdadas do conjunto de todas as funções reais.

Resposta

Sim, o conjunto de todas as funções reais tais que forma um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação usuais.

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