Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
(b) O conjunto de todas as funções reais tais que
.
(b) O conjunto de todas as funções reais tais que
Passo 1
Então, a gente tem que ver se o conjunto de todas as funções reais que satisfazem
forma um espaço vetorial sobre os números reais. Pra isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais, que envolvem verificar se a soma de duas funções desse conjunto também está no conjunto e se a multiplicação de uma função por um escalar mantém a função dentro do conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a soma de duas funções
e
que pertencem ao conjunto também pertence ao conjunto. Ou seja, se
e
, então queremos ver se
.
Calculando:
Então, a soma de
e
também satisfaz
, ou seja, pertence ao conjunto.
Passo 3
Agora, vamos ver a multiplicação de uma função
do conjunto por um escalar
real. Precisamos checar se
.
Calculando:
Assim, a função
também satisfaz
, ou seja, pertence ao conjunto.
Passo 4
Além disso, é importante lembrar que a função zero, que atribui zero a todo ponto, também está no conjunto porque
. E as demais propriedades dos espaços vetoriais, como associatividade e distributividade, são herdadas do conjunto de todas as funções reais.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as funções reais tais que
forma um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação usuais.