Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando os vetores são linearmente independentes:
© (2,5,-3,6),(1,0,0,1),(4,0,9,6) in R^4.

Passo 1

Beleza, a gente tem três vetores no espaço v1 = (2,5,-3,6), v2 = (1,0,0,1), v3 = (4,0,9,6) :
E queremos descobrir quando esses vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como testar isso usando álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa linearmente independente. Três vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em termos de equação:
av1 + bv2 + cv3 = 0
Isso significa que queremos encontrar se a única solução para , e nessa equação é .

Passo 3

Vamos escrever essa combinação linear de forma detalhada:
a(2,5,-3,6) + b(1,0,0,1) + c(4,0,9,6) = (0,0,0,0)
O que resulta no seguinte sistema de equações:
2a + b + 4c = 0 5a + 0b + 0c = 0 -3a + 0b + 9c = 0 6a + b + 6c = 0
Agora, precisamos resolver esse sistema para ver se a única solução é .

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da segunda equação:
5a = 0 implies a = 0
  1. Com -3(0) + 9c = 0 implies 9c = 0 implies c = 0 , da terceira equação:
2(0) + b + 4(0) = 0 implies b = 0
  1. Com 6(0) + 0 + 6(0) = 0 e , da primeira equação:
  1. Finalmente, com , e , a quarta equação também confirma:

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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