Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando os vetores são linearmente independentes:
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar quando um conjunto de vetores é linearmente independente. Estamos trabalhando com polinômios no espaço
, que inclui polinômios de grau até 3. Os vetores que temos são:
Vamos precisar entender o que significa vetores linearmente independentes e como podemos verificar isso usando esses polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Então, para nossos polinômios, queremos ver se a única solução para a equação:
é
.
Passo 3
Vamos expandir essa equação:
Distribuindo os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
(termos constantes):
Assim, a equação fica:
Passo 4
Para que essa equação seja igual a zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
-
🔹 (coeficiente de ) -
🔹 (coeficiente de ) -
🔹 (termo constante)
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
,
,
e
.
Da equação 1:
Substituindo
na equação 2:
Agora, substituindo
e
na equação 3:
Passo 6
Então, encontramos que:
Isso significa que as variáveis não estão necessariamente todas iguais a zero. Existe uma solução não trivial para o sistema, o que indica que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Os vetores
,
,
e
são linearmente dependentes no espaço
.