Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando os vetores são linearmente independentes:
(f) 2 x^2+3, x^3+1, x^3+x^2, 1 in P3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar quando um conjunto de vetores é linearmente independente. Estamos trabalhando com polinômios no espaço , que inclui polinômios de grau até 3. Os vetores que temos são:
Vamos precisar entender o que significa vetores linearmente independentes e como podemos verificar isso usando esses polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Então, para nossos polinômios, queremos ver se a única solução para a equação:
a(2x^2 + 3) + b(x^3 + 1) + c(x^3 + x^2) + d(1) = 0
é .

Passo 3

Vamos expandir essa equação:
a(2x^2 + 3) + b(x^3 + 1) + c(x^3 + x^2) + d(1) = 0
Distribuindo os coeficientes:
2a x^2 + 3a + b x^3 + b + c x^3 + c x^2 + d = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Coeficiente de (b + c)x^3 + (2a + c)x^2 + (3a + b + d) = 0 :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de (termos constantes):
Assim, a equação fica:

Passo 4

Para que essa equação seja igual a zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
  1.    🔹 (coeficiente de )
  2.   🔹 (coeficiente de )
  3.  🔹 (termo constante)

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de b + c = 0 implies b = -c , 2a + c = 0 implies c = -2a , 3a + (-(-2a)) + d = 0 e 3a + 2a + d = 0 .
Da equação 1:
5a + d = 0 implies d = -5a
Substituindo na equação 2:
Agora, substituindo e na equação 3:

Passo 6

Então, encontramos que:
Isso significa que as variáveis não estão necessariamente todas iguais a zero. Existe uma solução não trivial para o sistema, o que indica que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores , , e são linearmente dependentes no espaço .

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