Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais de
?
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O enunciado está perguntando se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para descobrir isso, precisamos lembrar quais são as condições que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço. Basicamente, precisamos verificar três coisas:
- Contém o vetor nulo: O vetor
está no conjunto? - Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos, o resultado também pertence ao conjunto?
- Fechado sob multiplicação escalar: Se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado ainda está no conjunto?
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor nulo
está nesse conjunto. Se colocarmos
, temos
. Como
, o vetor nulo está sim no conjunto. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer
e
do conjunto, a soma deles
também deve estar no conjunto. Observamos que
, então a soma manteve a propriedade
. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor
do conjunto e multiplicarmos por um número real
, o resultado será
. Aqui, temos
, então a propriedade
ainda é mantida. Assim, o conjunto também é fechado sob multiplicação escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.