Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços vetoriais de R^3 ?
(b) (x, y, z) in R^3: x=y=z.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O enunciado está perguntando se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para descobrir isso, precisamos lembrar quais são as condições que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço. Basicamente, precisamos verificar três coisas:
  1. Contém o vetor nulo: O vetor está no conjunto?
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos, o resultado também pertence ao conjunto?
  3. Fechado sob multiplicação escalar: Se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado ainda está no conjunto?

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor nulo está nesse conjunto. Se colocarmos , temos . Como , o vetor nulo está sim no conjunto. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer e do conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto. Observamos que , então a soma manteve a propriedade . Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor do conjunto e multiplicarmos por um número real , o resultado será . Aqui, temos , então a propriedade ainda é mantida. Assim, o conjunto também é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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