Encontre as equações reduzidas na variável x da reta r de interseção dos planos.
38. Determine o ponto de interseção da reta
r:l y=x-10 z=-x+1
com o plano pi: 2 x-y+3 z-9=0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o ponto de interseção da reta com o plano . Estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com o estudo de retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das equações paramétricas da reta e da equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a representação da reta y = x - 10 z = -x + 1 . Ela está definida pelas equações:
Essas equações relacionam as coordenadas e com a coordenada . Podemos considerar como o parâmetro da reta.

Passo 3

Agora, vamos expressar as equações da reta x = t y = t - 10 z = -t + 1 em termos de uma variável paramétrica, digamos . Podemos definir:
Assim, a reta é representada parametricamente por .

Passo 4

Em seguida, temos a equação do plano 2x - y + 3z - 9 = 0 :
Para encontrar o ponto de interseção, substituiremos as expressões paramétricas da reta na equação do plano .

Passo 5

Substituindo 2(t) - (t - 10) + 3(-t + 1) - 9 = 0 , e na equação do plano:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 6

Desenvolvendo a equação:
2t - t + 10 - 3t + 3 - 9 = 0 (2t - t - 3t) + (10 + 3 - 9) = 0 -2t + 4 = 0
Agora, isolamos -2t = -4 t = 2 :

Passo 7

Com o valor de x = 2 y = 2 - 10 = -8 z = -2 + 1 = -1 , substituímos de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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