Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada: P(1,2,3) e r : eixo 0 x.
42. Encontre a distancia do Ponto P ao plano pi.
a) P(2,-1,2) e pi: 2 x-2 y-z+3=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente encontrar a distância do ponto até o plano . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, mais especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano. Para isso, vamos precisar identificar os coeficientes da equação do plano e as coordenadas do ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a distância D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto até um plano . A fórmula é:
Essa fórmula basicamente calcula o quanto o ponto está “afastado” do plano, considerando a orientação do plano no espaço.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores na nossa equação do plano 2x - 2y - z + 3 = 0 :
Aqui, podemos ver que:
E as coordenadas do ponto são , então:

Passo 4

Vamos agora substituir esses valores na fórmula da distância:
D = |2 cdot 2 + (-2) cdot (-1) + (-1) cdot 2 + 3|raiz2^2 + (-2)^2 + (-1)^2
Calculando o numerador:
2 cdot 2 = 4 -2 cdot (-1) = 2 -1 cdot 2 = -2 Somando tudo: 4 + 2 - 2 + 3 = 7
Então, o numerador é 2^2 = 4 (-2)^2 = 4 (-1)^2 = 1 Somando tudo: 4 + 4 + 1 = 9 raiz9 = 3 .
Agora, vamos calcular o denominador:

Passo 5

Com o numerador e denominador calculados, podemos encontrar a distância:
D = 73 approx 2,33

Resposta

A distância do ponto ao plano é aproximadamente 2,33 unidades.

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