Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.
e)
, e
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a função
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição:
para todos os vetores e . - Homogeneidade:
para todo escalar e para todo vetor .
Passo 3
Outra maneira de verificar a linearidade é checar se
. Se a transformação leva o vetor zero ao vetor zero e satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade, então ela é linear.
Passo 4
Vamos começar verificando se
. O vetor zero em
é
.
Como
, a função já não satisfaz a condição básica de uma transformação linear.
Passo 5
Além disso, podemos verificar as propriedades de adição e homogeneidade para confirmar. Por exemplo, se pegarmos
e
:
Mas
E
Como , a propriedade de adição também não é satisfeita.
E
Como
Resposta
A função
não é uma transformação linear.