Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.
e) T: R^3 R^2, e T(x, y, z)=(x-y-1, z-x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a função , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição: para todos os vetores e .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e para todo vetor .

Passo 3

Outra maneira de verificar a linearidade é checar se . Se a transformação leva o vetor zero ao vetor zero e satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade, então ela é linear.

Passo 4

Vamos começar verificando se T(0, 0, 0) = (0 - 0 - 1, 0 - 0) = (-1, 0) . O vetor zero em é .
Como , a função já não satisfaz a condição básica de uma transformação linear.

Passo 5

Além disso, podemos verificar as propriedades de adição e homogeneidade para confirmar. Por exemplo, se pegarmos T(1, 0, 0) = (1 - 0 - 1, 0 - 1) = (0, -1) e T(0, 1, 0) = (0 - 1 - 1, 0 - 0) = (-2, 0) :
Mas
E
Como , a propriedade de adição também não é satisfeita.

Resposta

A função não é uma transformação linear.

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