Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando os vetores são linearmente independentes:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se os vetores
,
e
em
são linearmente independentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e aplicar alguns cálculos para confirmar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, não conseguimos escrever um vetor como uma combinação dos outros.
Passo 3
Como estamos trabalhando em
, que é o espaço bidimensional, o máximo de vetores que podem ser linearmente independentes é 2. Se tivermos mais de 2 vetores, como neste caso com 3 vetores, eles serão automaticamente linearmente dependentes. Isso acontece porque no espaço bidimensional, qualquer terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação dos dois primeiros.
Passo 4
Para confirmar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
Vamos formar a matriz usando os primeiros dois vetores:
Calculando o determinante de
:
Isso nos diz que os dois primeiros vetores são linearmente independentes. No entanto, ao adicionar o terceiro vetor
, estamos introduzindo um vetor que pode ser escrito como uma combinação dos dois primeiros, já que o espaço é bidimensional.
Resposta
Os vetores
,
e
não são linearmente independentes em
.