Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando os vetores são linearmente independentes:
(b) (1,2),(3,5),(-1,3) in R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se os vetores (1,2), (3,5) e (-1,3) em R^2 são linearmente independentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e aplicar alguns cálculos para confirmar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, não conseguimos escrever um vetor como uma combinação dos outros.

Passo 3

Como estamos trabalhando em R^2, que é o espaço bidimensional, o máximo de vetores que podem ser linearmente independentes é 2. Se tivermos mais de 2 vetores, como neste caso com 3 vetores, eles serão automaticamente linearmente dependentes. Isso acontece porque no espaço bidimensional, qualquer terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação dos dois primeiros.

Passo 4

Para confirmar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
Vamos formar a matriz usando os primeiros dois vetores:
A = 1 & 3 2 & 5
Calculando o determinante de A:
det(A) = (1)(5) - (3)(2) = 5 - 6 = -1 neq 0
Isso nos diz que os dois primeiros vetores são linearmente independentes. No entanto, ao adicionar o terceiro vetor (-1,3), estamos introduzindo um vetor que pode ser escrito como uma combinação dos dois primeiros, já que o espaço é bidimensional.

Resposta

Os vetores (1,2), (3,5) e (-1,3) não são linearmente independentes em R^2.

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