Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
A=[rrr1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente precisa encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz . Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar utilizar o cálculo do determinante e resolver uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz . Os valores próprios, ou autovalores, são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 1 & 1 - lambda & -2 0 & 1 & -1 - lambda :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 1 - lambda & -2 1 & -1 - lambda - 0 + 0
det(A - lambda I) = (1 - lambda) [(1 - lambda)(-1 - lambda) - (-2)(1)]

Passo 5

Simplificando dentro do determinante:
(1 - lambda)(-1 - lambda) = -(1 - lambda)(1 + lambda) = - (1 - lambda^2) = -1 + lambda^2
Então:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) [-1 + lambda^2 + 2] = (1 - lambda)(1 + lambda^2)

Passo 6

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
(1 - lambda)(1 + lambda^2) = 0
Isso nos dá as soluções:
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
1 + lambda^2 = 0 Rightarrow lambda^2 = -1 Rightarrow lambda = i ou lambda = -i
No entanto, como estamos trabalhando com números reais, consideramos apenas .

Passo 7

Agora, vamos encontrar o vetor próprio correspondente ao valor próprio A - I = 0 & 0 & 0 1 & 0 & -2 0 & 1 & -2 . Para isso, resolvemos o sistema .
Primeiro, montamos :

Passo 8

Agora, resolvemos o sistema:
0x + 0y + 0z = 0 x + 0y - 2z = 0 0x + y - 2z = 0
Da segunda equação:
Da terceira equação:

Passo 9

Escolhemos x = 2t y = 2t z = t , onde x = t 2 2 1 é um parâmetro livre. Então:
Podemos escrever o vetor próprio como:

Resposta

Os valores próprios da matriz 2 2 1 são lambda = 1 com vetor próprio x = t 2 2 1 , t in R . O vetor próprio correspondente a é qualquer múltiplo do vetor . Portanto, os valores próprios e seus vetores próprios são:
ó

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