Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente precisa encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz . Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar utilizar o cálculo do determinante e resolver uma equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz . Os valores próprios, ou autovalores, são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
(1 - lambda)(1 + lambda^2) = 0
Isso nos dá as soluções:
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
1 + lambda^2 = 0 Rightarrow lambda^2 = -1 Rightarrow lambda = i ou lambda = -i
No entanto, como estamos trabalhando com números reais, consideramos apenas .
Passo 7
Agora, vamos encontrar o vetor próprio correspondente ao valor próprio A - I = 0 & 0 & 0 1 & 0 & -2 0 & 1 & -2 . Para isso, resolvemos o sistema .
Primeiro, montamos :
Passo 8
Agora, resolvemos o sistema:
0x + 0y + 0z = 0 x + 0y - 2z = 0 0x + y - 2z = 0
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Passo 9
Escolhemos x = 2t y = 2t z = t , onde x = t 2 2 1 é um parâmetro livre. Então:
Podemos escrever o vetor próprio como:
Resposta
Os valores próprios da matriz 2 2 1 são lambda = 1 com vetor próprio x = t 2 2 1 , t in R . O vetor próprio correspondente a é qualquer múltiplo do vetor . Portanto, os valores próprios e seus vetores próprios são: