a) Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade. Isso pertence ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são valores próprios e vetores próprios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são valores próprios e vetores próprios. Um valor próprio (ou autovalor) de uma matriz
é um número
tal que existe um vetor não nulo
que, quando multiplicamos a matriz
por
, o resultado é o próprio vetor
vezes
. Matematicamente, isso é expresso por:
O vetor
que satisfaz essa equação é chamado de vetor próprio (ou autovetor) associado ao valor próprio
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à matriz identidade, que a gente denota por
. A matriz identidade é aquela que tem 1 na diagonal principal e 0 nas outras posições. Por exemplo, para uma matriz 2x2, ela é:
Queremos encontrar
e
tais que:
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz identidade por um vetor qualquer
. Como a matriz identidade não altera o vetor, temos:
Comparando com a equação
, percebemos que:
Para essa igualdade ser verdadeira para um vetor não nulo
, o único valor possível para
é 1. Ou seja:
Passo 5
Agora, sabendo que o único valor próprio é 1, vamos pensar nos vetores próprios. A equação
é válida para qualquer vetor não nulo
. Isso significa que todos os vetores não nulos são vetores próprios da matriz identidade.
Resposta
Valores próprios: O único valor próprio da matriz identidade é
.
Vetores próprios: Todo vetor não nulo
é um vetor próprio da matriz identidade.