a) Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade. Isso pertence ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são valores próprios e vetores próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são valores próprios e vetores próprios. Um valor próprio (ou autovalor) de uma matriz A v = lambda v é um número tal que existe um vetor não nulo que, quando multiplicamos a matriz por , o resultado é o próprio vetor vezes . Matematicamente, isso é expresso por:
O vetor que satisfaz essa equação é chamado de vetor próprio (ou autovetor) associado ao valor próprio .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à matriz identidade, que a gente denota por I = 1 & 0 0 & 1 . A matriz identidade é aquela que tem 1 na diagonal principal e 0 nas outras posições. Por exemplo, para uma matriz 2x2, ela é:
I v = lambda v
Queremos encontrar e tais que:

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz identidade por um vetor qualquer I v = v . Como a matriz identidade não altera o vetor, temos:
v = lambda v
Comparando com a equação lambda = 1 , percebemos que:
Para essa igualdade ser verdadeira para um vetor não nulo , o único valor possível para é 1. Ou seja:

Passo 5

Agora, sabendo que o único valor próprio é 1, vamos pensar nos vetores próprios. A equação é válida para qualquer vetor não nulo . Isso significa que todos os vetores não nulos são vetores próprios da matriz identidade.

Resposta

Valores próprios: O único valor próprio da matriz identidade é .
Vetores próprios: Todo vetor não nulo é um vetor próprio da matriz identidade.

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