Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a fronteira do conjunto . Estamos trabalhando com topologia, que é uma área da matemática que estuda as propriedades do espaço que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma fronteira de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fronteira de um conjunto. A fronteira de um conjunto em um espaço topológico é o conjunto de pontos que podem ser aproximados tanto por pontos de quanto por pontos que não estão em . Em outras palavras, são os pontos que estão “na borda” de .

Passo 3

No caso do conjunto , estamos trabalhando no conjunto dos números reais. Esse conjunto é um intervalo fechado, o que significa que inclui os pontos finais, ou seja, 0 e 1.

Passo 4

Agora, para encontrar a fronteira de , vamos identificar quais pontos podem ser aproximados tanto por pontos dentro de quanto por pontos fora de .

Passo 5

Vamos analisar os pontos extremos do intervalo:
  • Ponto 0: Podemos nos aproximar de 0 por números maiores que 0 (dentro de ) e por números menores que 0 (fora de ).
  • Ponto 1: Podemos nos aproximar de 1 por números menores que 1 (dentro de ) e por números maiores que 1 (fora de ).

Passo 6

Os pontos dentro do intervalo aberto não fazem parte da fronteira, pois eles só podem ser aproximados por pontos dentro de . Já os pontos fora de não estão na fronteira porque não podem ser aproximados por pontos de .

Passo 7

Portanto, os únicos pontos que fazem parte da fronteira de são os pontos 0 e 1.

Resposta

A fronteira de é o conjunto .

Exercícios relacionados

Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Mostre que .
Uma doença esta se disseminando de tal forma que, após semanas, o número de pessoas infectadas é dada por
Determine:
a) A que taxa a epdemia está se disseminando após 3 semana?
Dada a sequência definida por
Obtenha para que seja uma sequência constante.