Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a fronteira do conjunto
. Estamos trabalhando com topologia, que é uma área da matemática que estuda as propriedades do espaço que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma fronteira de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa fronteira de um conjunto. A fronteira de um conjunto
em um espaço topológico é o conjunto de pontos que podem ser aproximados tanto por pontos de
quanto por pontos que não estão em
. Em outras palavras, são os pontos que estão “na borda” de
.
Passo 3
No caso do conjunto
, estamos trabalhando no conjunto dos números reais. Esse conjunto é um intervalo fechado, o que significa que inclui os pontos finais, ou seja, 0 e 1.
Passo 4
Agora, para encontrar a fronteira de
, vamos identificar quais pontos podem ser aproximados tanto por pontos dentro de
quanto por pontos fora de
.
Passo 5
Vamos analisar os pontos extremos do intervalo:
- Ponto 0: Podemos nos aproximar de 0 por números maiores que 0 (dentro de
) e por números menores que 0 (fora de ). - Ponto 1: Podemos nos aproximar de 1 por números menores que 1 (dentro de
) e por números maiores que 1 (fora de ).
Passo 6
Os pontos dentro do intervalo aberto
não fazem parte da fronteira, pois eles só podem ser aproximados por pontos dentro de
. Já os pontos fora de
não estão na fronteira porque não podem ser aproximados por pontos de
.
Passo 7
Portanto, os únicos pontos que fazem parte da fronteira de
são os pontos 0 e 1.
Resposta
A fronteira de
é o conjunto
.
Exercícios relacionados
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Mostre que
.
Uma doença esta se disseminando de tal forma que, após
semanas, o número de pessoas infectadas é dada por
Determine:
a) A que taxa a epdemia está se disseminando após 3 semana?
a) A que taxa a epdemia está se disseminando após 3 semana?
Dada a sequência
definida por
Obtenha
para que
seja uma sequência constante.