Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
lim n +infty raiz[n]2=1.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite de raiz[n]2 quando n tende ao infinito é igual a 1, usando a desigualdade de Bernoulli. Isso está relacionado ao cálculo de limites e ao uso de desigualdades para facilitar a demonstração. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a desigualdade de Bernoulli e como aplicá-la a sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever raiz[n]2 de uma forma que facilite o uso da desigualdade de Bernoulli. Sabemos que raiz[n]2 = 2^1/n. Nosso objetivo é encontrar o limite de 2^1/n quando n tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da desigualdade de Bernoulli, que afirma que para qualquer número real x >= -1 e qualquer inteiro r >= 0, temos:
(1 + x)^r >= 1 + rx
Esta desigualdade será útil para estabelecer cotas para 2^1/n.

Passo 4

Vamos aplicar a desigualdade de Bernoulli com x = 1 e r = 1n. Assim, temos:
(1 + 1)^1/n >= 1 + 1n cdot 1
Simplificando, fica:
2^1/n >= 1 + 1n

Passo 5

Agora, observamos que 2^1/n >= 1 + 1n. À medida que n cresce, 1n tende a 0, então 1 + 1n tende a 1. Isso nos dá uma cota inferior para 2^1/n que se aproxima de 1.

Passo 6

Por outro lado, sabemos que para qualquer n, 2^1/n é maior que 1, já que 2 é maior que 1 e a raiz n-ésima de um número maior que 1 também é maior que 1. Portanto, temos:
1 < 2^1/n

Passo 7

Combinando as duas observações, temos que 1 < 2^1/n >= 1 + 1n. Como ambos os lados estão se aproximando de 1 quando n tende ao infinito, podemos concluir, pelo teorema do sanduíche, que:
lim n +infty raiz[n]2 = 1

Resposta

Portanto, usando a desigualdade de Bernoulli, provamos que lim n +infty raiz[n]2 = 1.

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