Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite de quando tende ao infinito é igual a 1, usando a desigualdade de Bernoulli. Isso está relacionado ao cálculo de limites e ao uso de desigualdades para facilitar a demonstração. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a desigualdade de Bernoulli e como aplicá-la a sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite o uso da desigualdade de Bernoulli. Sabemos que . Nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da desigualdade de Bernoulli, que afirma que para qualquer número real e qualquer inteiro , temos:
Esta desigualdade será útil para estabelecer cotas para .

Passo 4

Vamos aplicar a desigualdade de Bernoulli com e . Assim, temos:
Simplificando, fica:

Passo 5

Agora, observamos que . À medida que cresce, tende a 0, então tende a 1. Isso nos dá uma cota inferior para que se aproxima de 1.

Passo 6

Por outro lado, sabemos que para qualquer , é maior que 1, já que 2 é maior que 1 e a raiz n-ésima de um número maior que 1 também é maior que 1. Portanto, temos:

Passo 7

Combinando as duas observações, temos que . Como ambos os lados estão se aproximando de 1 quando tende ao infinito, podemos concluir, pelo teorema do sanduíche, que:

Resposta

Portanto, usando a desigualdade de Bernoulli, provamos que .

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Mostre que .
Se é fechado, não-vazio e não possui pontos isolados, mostre que não é enumerável.
Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
Uma doença esta se disseminando de tal forma que, após semanas, o número de pessoas infectadas é dada por
Determine:
a) A que taxa a epdemia está se disseminando após 3 semana?