Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite de
quando
tende ao infinito é igual a 1, usando a desigualdade de Bernoulli. Isso está relacionado ao cálculo de limites e ao uso de desigualdades para facilitar a demonstração. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a desigualdade de Bernoulli e como aplicá-la a sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que facilite o uso da desigualdade de Bernoulli. Sabemos que
. Nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da desigualdade de Bernoulli, que afirma que para qualquer número real
e qualquer inteiro
, temos:
Esta desigualdade será útil para estabelecer cotas para
.
Passo 4
Vamos aplicar a desigualdade de Bernoulli com
e
. Assim, temos:
Simplificando, fica:
Passo 5
Agora, observamos que
. À medida que
cresce,
tende a 0, então
tende a 1. Isso nos dá uma cota inferior para
que se aproxima de 1.
Passo 6
Por outro lado, sabemos que para qualquer
,
é maior que 1, já que 2 é maior que 1 e a raiz n-ésima de um número maior que 1 também é maior que 1. Portanto, temos:
Passo 7
Combinando as duas observações, temos que
. Como ambos os lados estão se aproximando de 1 quando
tende ao infinito, podemos concluir, pelo teorema do sanduíche, que:
Resposta
Portanto, usando a desigualdade de Bernoulli, provamos que
.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
Se
é fechado, não-vazio e não possui pontos isolados, mostre que
não é enumerável.
Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
Uma doença esta se disseminando de tal forma que, após
semanas, o número de pessoas infectadas é dada por
Determine:
a) A que taxa a epdemia está se disseminando após 3 semana?
a) A que taxa a epdemia está se disseminando após 3 semana?