Uma doença esta se disseminando de tal forma que, após t semanas, o número de pessoas infectadas é dada por
N(t) = 5175 - t^3(t^2 - 8), 0 <= t <= 8
Determine:
a) A que taxa a epdemia está se disseminando após 3 semana?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre como uma doença está se espalhando ao longo do tempo. A função que descreve o número de pessoas infectadas após semanas é:
Nosso objetivo é descobrir a que taxa a epidemia está se disseminando após 3 semanas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Taxa de Variação e Derivadas, que nos ajudam a entender como uma quantidade muda em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de disseminação. Basicamente, queremos saber quão rápido o número de infectados está aumentando ou diminuindo em um determinado momento. Matemáticamente, isso é representado pela derivada da função , que denotamos como .
çã

Passo 3

Vamos derivar a função . Temos:
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Agora, derivamos termo a termo:
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, e usamos a regra do poder para os outros termos:

Passo 4

Agora que temos a expressão para , queremos saber qual é a taxa de disseminação após 3 semanas, ou seja, quando .
Substituímos por 3 na derivada:
Calculando passo a passo:
  1. Calcula :
  2. Calcula :
Então:

Resposta

Após 3 semanas, a taxa de disseminação da epidemia está diminuindo a uma taxa de -189 pessoas por semana.

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