Dada a sequência x_n definida por
x1 := A, xn+1 := (xn + 3) / 7, n ≥ 1
Obtenha A para que x_n seja uma sequência constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma sequência x_n onde o primeiro termo é A e cada termo seguinte é calculado pela fórmula . A gente precisa encontrar o valor de A que faz com que a sequência seja constante, ou seja, que todos os termos sejam iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência constante e usar um pouco de álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência constante. Se uma sequência é constante, isso significa que cada termo é igual ao anterior. Então, se x_n é constante, temos que para todo n.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa ideia à fórmula que define a sequência. Sabemos que . Como a sequência é constante, podemos substituir x_n+1 por xn:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de xn. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 7 para eliminar o denominador:

Passo 5

Agora, vamos isolar xn. Subtraímos xn de ambos os lados:

Passo 6

Dividimos ambos os lados por 6 para resolver para xn:

Passo 7

Finalmente, sabemos que o primeiro termo x1 é igual a A e, como a sequência é constante, todos os termos são iguais a 1/2. Portanto, .

Resposta

O valor de A que faz a sequência x_n ser constante é .

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