Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a parte interior da interseção entre dois conjuntos e é igual à interseção das partes interiores de e . Isso está dentro da matéria de Topologia, especificamente sobre os conceitos de interior de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a parte interior de um conjunto e algumas propriedades básicas relacionadas a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que a parte interior de está contida na interseção das partes interiores de e , ou seja:
Teoria: A parte interior de um conjunto , denotada por , é o maior conjunto aberto que está contido em . Se um ponto está na parte interior de , então existe uma vizinhança aberta ao redor desse ponto que está totalmente contida em .
Prova: Suponha que . Isso significa que existe uma vizinhança aberta tal que:
Como , temos que e . Portanto, está na parte interior de e na parte interior de , ou seja:
Assim, . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos provar a outra direção: que a interseção das partes interiores de e está contida na parte interior de , ou seja:
Teoria: Se um ponto está na interseção das partes interiores de e , então existe uma vizinhança aberta ao redor desse ponto que está totalmente contida em e outra em . A interseção dessas duas vizinhanças abertas também é uma vizinhança aberta contida em .
Prova: Suponha que . Isso significa que existem vizinhanças abertas e tais que:
A interseção é uma vizinhança aberta que contém e está totalmente contida em :
Portanto, está na parte interior de , ou seja:
Assim:

Passo 4

Com as duas inclusões demonstradas nos passos anteriores:
e
Podemos concluir que:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Se é fechado, não-vazio e não possui pontos isolados, mostre que não é enumerável.
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
b) qualquer e compacto, então é compacto.
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira: