Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a parte interior da interseção entre dois conjuntos
e
é igual à interseção das partes interiores de
e
. Isso está dentro da matéria de Topologia, especificamente sobre os conceitos de interior de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a parte interior de um conjunto e algumas propriedades básicas relacionadas a isso.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que a parte interior de
está contida na interseção das partes interiores de
e
, ou seja:
Teoria: A parte interior de um conjunto
, denotada por
, é o maior conjunto aberto que está contido em
. Se um ponto está na parte interior de
, então existe uma vizinhança aberta ao redor desse ponto que está totalmente contida em
.
Prova: Suponha que
. Isso significa que existe uma vizinhança aberta
tal que:
Como
, temos que
e
. Portanto,
está na parte interior de
e na parte interior de
, ou seja:
Assim,
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos provar a outra direção: que a interseção das partes interiores de
e
está contida na parte interior de
, ou seja:
Teoria: Se um ponto está na interseção das partes interiores de
e
, então existe uma vizinhança aberta ao redor desse ponto que está totalmente contida em
e outra em
. A interseção dessas duas vizinhanças abertas também é uma vizinhança aberta contida em
.
Prova: Suponha que
. Isso significa que existem vizinhanças abertas
e
tais que:
A interseção
é uma vizinhança aberta que contém
e está totalmente contida em
:
Portanto,
está na parte interior de
, ou seja:
Assim:
Passo 4
Com as duas inclusões demonstradas nos passos anteriores:
e
Podemos concluir que:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Se
é fechado, não-vazio e não possui pontos isolados, mostre que
não é enumerável.
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
b) qualquer e
compacto, então
é compacto.
b)
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira: