Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
Passo 1
Beleza, galera! Então, o que a gente tem aqui é um exercício de topologia, que é uma parte da matemática que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações como estiramentos e flexões. A questão pede para a gente determinar a fronteira do conjunto
, que são todos os números racionais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa a fronteira de um conjunto em um espaço topológico, e como os números racionais e irracionais estão distribuídos na reta real.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a fronteira de um conjunto. A fronteira de um conjunto
em um espaço
é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos de
e pontos que não estão em
. Em outras palavras, são os pontos que estão “na borda” de
, onde você sempre encontra pontos de dentro e de fora de
próximos a eles.
Passo 3
Agora, vamos pensar no conjunto
, que são todos os números racionais. Sabemos que os números racionais são densos na reta real
, o que significa que entre dois números reais quaisquer, sempre existe pelo menos um número racional. O mesmo vale para os números irracionais, que também são densos em
.
Passo 4
Como os números racionais e irracionais estão densamente espalhados na reta real, qualquer intervalo que pegarmos na reta real vai conter tanto números racionais quanto irracionais. Isso significa que, para qualquer ponto em
, se a gente pegar uma vizinhança desse ponto, vai ter pontos que estão em
(racionais) e pontos que não estão em
(irracionais).
Passo 5
Com isso em mente, a fronteira de
vai incluir todos os pontos da reta real
, porque em qualquer ponto que você escolher, a sua vizinhança vai ter números racionais e irracionais. Não tem nenhum ponto que esteja “apenas dentro” ou “apenas fora” de
, já que são ambos densos.
Resposta
A fronteira do conjunto
é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.
Exercícios relacionados
(a)
Calcule
, sendo:
,
Se
é aberto e a
, mostre que
é um conjunto aberto.
Uma função
, onde
, é dita contínua no ponto
, se
Mostre que uma função
é contínua em
, se, e somente se, toda sequência de pontos
, com
, se tenha
.