Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:

Passo 1

Beleza, galera! Então, o que a gente tem aqui é um exercício de topologia, que é uma parte da matemática que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações como estiramentos e flexões. A questão pede para a gente determinar a fronteira do conjunto , que são todos os números racionais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa a fronteira de um conjunto em um espaço topológico, e como os números racionais e irracionais estão distribuídos na reta real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a fronteira de um conjunto. A fronteira de um conjunto em um espaço é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos de e pontos que não estão em . Em outras palavras, são os pontos que estão “na borda” de , onde você sempre encontra pontos de dentro e de fora de próximos a eles.

Passo 3

Agora, vamos pensar no conjunto , que são todos os números racionais. Sabemos que os números racionais são densos na reta real , o que significa que entre dois números reais quaisquer, sempre existe pelo menos um número racional. O mesmo vale para os números irracionais, que também são densos em .

Passo 4

Como os números racionais e irracionais estão densamente espalhados na reta real, qualquer intervalo que pegarmos na reta real vai conter tanto números racionais quanto irracionais. Isso significa que, para qualquer ponto em , se a gente pegar uma vizinhança desse ponto, vai ter pontos que estão em (racionais) e pontos que não estão em (irracionais).

Passo 5

Com isso em mente, a fronteira de vai incluir todos os pontos da reta real , porque em qualquer ponto que você escolher, a sua vizinhança vai ter números racionais e irracionais. Não tem nenhum ponto que esteja “apenas dentro” ou “apenas fora” de , já que são ambos densos.

Resposta

A fronteira do conjunto é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes intograis:
(a)
Calcule , sendo: ,
Se é aberto e a , mostre que é um conjunto aberto.
Uma função , onde , é dita contínua no ponto , se
Mostre que uma função é contínua em , se, e somente se, toda sequência de pontos , com , se tenha .