Calcule
, sendo:
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada de
em relação a
, onde:
Aqui, estamos trabalhando com funções compostas e precisamos usar a regra da cadeia para derivar
em relação a
. Vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis e aplicar a regra da cadeia corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de
em relação a
é dada por:
Isso é a essência da regra da cadeia para funções de várias variáveis. Agora, vamos calcular cada uma dessas partes.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Isso vem da derivação direta de
em relação a cada variável.
Passo 4
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Para
:
Para
:
Usamos a regra do quociente para essas derivadas.
Passo 5
Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão inicial da regra da cadeia:
Passo 6
Vamos substituir
e
na expressão:
Passo 7
Agora, vamos simplificar cada termo:
Passo 8
Fatorando
dos dois termos:
Passo 9
Podemos deixar a resposta assim ou simplificar ainda mais:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Obtenha coberturas abertas de
e de
que não admitem subcoberturas finitas.
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.
(a)
Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira: