Calcule d/dt [z(r(t), s(t))], sendo: z = r^3 - s^3, r = 1 / (1 + t), s = t / (t + 1),

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada de em relação a , onde:
Aqui, estamos trabalhando com funções compostas e precisamos usar a regra da cadeia para derivar em relação a . Vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis e aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação a é dada por:
Isso é a essência da regra da cadeia para funções de várias variáveis. Agora, vamos calcular cada uma dessas partes.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Isso vem da derivação direta de em relação a cada variável.

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :
Para :
Para :
Usamos a regra do quociente para essas derivadas.

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão inicial da regra da cadeia:

Passo 6

Vamos substituir e na expressão:

Passo 7

Agora, vamos simplificar cada termo:

Passo 8

Fatorando dos dois termos:

Passo 9

Podemos deixar a resposta assim ou simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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