Uma função , onde , é dita contínua no ponto , se
Mostre que uma função é contínua em , se, e somente se, toda sequência de pontos , com , se tenha .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma função é contínua no ponto usando duas definições equivalentes de continuidade. A primeira é a definição clássica de limite através de e . A segunda usa a ideia de que, se você pegar qualquer sequência de pontos que se aproxima de , então a sequência das imagens também se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar entender essas duas definições e provar que elas implicam uma na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que se é contínua em (usando a definição de - ), então para toda sequência que converge para , a sequência converge para .
Prova:
  • Seja . Como é contínua em , existe um tal que se e , então .
  • Agora, considere uma sequência . Isso significa que existe um tal que para todo , .
  • Portanto, para esses , temos , o que mostra que .

Passo 3

Agora, vamos mostrar o inverso: se para toda sequência que converge para , a sequência converge para , então é contínua em (usando a definição de - ).
Prova por contradição:
  • Suponha que não seja contínua em . Então, existe um tal que para todo , existe um com e .
  • Vamos construir uma sequência que converge para mas não converge para .
  • Escolha para cada . Então, existe com e .
  • Assim, , mas não converge para , o que contraria a hipótese.

Passo 4

Como mostramos as duas implicações, concluímos que a definição clássica de continuidade usando - é equivalente à definição sequencial de continuidade.

Resposta

Portanto, uma função é contínua em se, e somente se, para toda sequência que converge para , a sequência converge para .

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Se é aberto e a , mostre que é um conjunto aberto.
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Mostre que um conjunto não-vazio é um intervalo se, e somente se, satisfaz a seguinte condição:
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral: