Uma função
, onde
, é dita contínua no ponto
, se
Mostre que uma função
é contínua em
, se, e somente se, toda sequência de pontos
, com
, se tenha
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma função
é contínua no ponto
usando duas definições equivalentes de continuidade. A primeira é a definição clássica de limite através de
e
. A segunda usa a ideia de que, se você pegar qualquer sequência de pontos
que se aproxima de
, então a sequência das imagens
também se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar entender essas duas definições e provar que elas implicam uma na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que se
é contínua em
(usando a definição de
-
), então para toda sequência
que converge para
, a sequência
converge para
.
Prova:
- Seja
. Como é contínua em , existe um tal que se e , então . - Agora, considere uma sequência
. Isso significa que existe um tal que para todo , . - Portanto, para esses
, temos , o que mostra que .
Passo 3
Agora, vamos mostrar o inverso: se para toda sequência
que converge para
, a sequência
converge para
, então
é contínua em
(usando a definição de
-
).
Prova por contradição:
- Suponha que
não seja contínua em . Então, existe um tal que para todo , existe um com e . - Vamos construir uma sequência
que converge para mas não converge para . - Escolha
para cada . Então, existe com e . - Assim,
, mas não converge para , o que contraria a hipótese.
Passo 4
Como mostramos as duas implicações, concluímos que a definição clássica de continuidade usando
-
é equivalente à definição sequencial de continuidade.
Resposta
Portanto, uma função
é contínua em
se, e somente se, para toda sequência
que converge para
, a sequência
converge para
.
Exercícios relacionados
Se
é aberto e a
, mostre que
é um conjunto aberto.
Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
Mostre que um conjunto não-vazio
é um intervalo se, e somente se, satisfaz a seguinte condição:
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral: