Se
é aberto e a
, mostre que
é um conjunto aberto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para gente mostrar que se
é um conjunto aberto em
e contém o ponto
, então o conjunto
também é aberto. Isso está relacionado ao conceito de conjuntos abertos na topologia. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e como a remoção de um ponto afeta essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em
, um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, conseguimos encontrar um intervalo ao redor desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto. Ou seja, para todo
, existe um número
tal que o intervalo
está contido em
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
é aberto. Vamos pegar qualquer ponto
em
e provar que existe um intervalo ao redor de
que está completamente dentro de
.
Passo 4
Como
é aberto e
, sabemos que existe
tal que
. Precisamos garantir que esse intervalo não inclua o ponto
.
Passo 5
Consideramos duas situações:
- Se
e não está dentro do intervalo , então esse intervalo já está totalmente dentro de . - Se
está dentro do intervalo, ou seja, , podemos ajustar para que o intervalo exclua .
Passo 6
No segundo caso, escolhemos
. Assim, o novo intervalo
não incluirá
porque a distância entre
e
é maior ou igual a
. Portanto, esse intervalo está completamente dentro de
.
Resposta
Assim, mostramos que para qualquer ponto
em
, existe um intervalo ao redor de
que está totalmente dentro de
. Portanto,
é um conjunto aberto.
Exercícios relacionados
Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
(a)
Uma função
, onde
, é dita contínua no ponto
, se
Mostre que uma função
é contínua em
, se, e somente se, toda sequência de pontos
, com
, se tenha
.
Mostre que um conjunto não-vazio
é um intervalo se, e somente se, satisfaz a seguinte condição: