Se é aberto e a , mostre que é um conjunto aberto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para gente mostrar que se é um conjunto aberto em e contém o ponto , então o conjunto também é aberto. Isso está relacionado ao conceito de conjuntos abertos na topologia. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e como a remoção de um ponto afeta essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em , um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, conseguimos encontrar um intervalo ao redor desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto. Ou seja, para todo , existe um número tal que o intervalo está contido em .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que é aberto. Vamos pegar qualquer ponto em e provar que existe um intervalo ao redor de que está completamente dentro de .

Passo 4

Como é aberto e , sabemos que existe tal que . Precisamos garantir que esse intervalo não inclua o ponto .

Passo 5

Consideramos duas situações:
  1. Se e não está dentro do intervalo , então esse intervalo já está totalmente dentro de .
  2. Se está dentro do intervalo, ou seja, , podemos ajustar para que o intervalo exclua .

Passo 6

No segundo caso, escolhemos . Assim, o novo intervalo não incluirá porque a distância entre e é maior ou igual a . Portanto, esse intervalo está completamente dentro de .

Resposta

Assim, mostramos que para qualquer ponto em , existe um intervalo ao redor de que está totalmente dentro de . Portanto, é um conjunto aberto.

Exercícios relacionados

Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
Calcule as seguintes intograis:
(a)
Uma função , onde , é dita contínua no ponto , se
Mostre que uma função é contínua em , se, e somente se, toda sequência de pontos , com , se tenha .
Mostre que um conjunto não-vazio é um intervalo se, e somente se, satisfaz a seguinte condição: