(1,5) Calcule as seguintes intograis:
(a) integral0^2 integral0^pi / 2 x cos (x y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral0^2 integral0^pi / 2 x cos (x y) , dy , dx. Aqui estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função de duas variáveis. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar integral x cos(x y) , dy em relação a integral x cos(x y) , dy = x cdot ( sin(x y)x ) = sin(x y) . Como é tratado como constante durante essa integração, ficamos com:
A integral de em relação a é . Aqui, , então:

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração de sin(x cdot pi2) - sin(0) = sin(pi x2) - 0 = sin(pi x2) que vão de integral0^2 sin(pi x2) , dx a :
Então, a integral dupla agora reduz para:

Passo 4

Agora, precisamos integrar integral sin(pi x2) , dx = -2pi cos(pi x2) + C em relação a . A integral de é , onde . Então:

Passo 5

Aplicamos os limites de -2pi [ cos(pi cdot 22) - cos(0) ] = -2pi [ cos(pi) - 1 ] = -2pi [ -1 - 1 ] = 4pi de a :

Resposta

O valor da integral é .

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