Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir a fronteira do conjunto , que são os números inteiros. Para isso, vamos usar conceitos de topologia, que estuda como os conjuntos se comportam em termos de pontos próximos. Vamos precisar entender o que são interior, fechamento e fronteira de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto é formado por todos os pontos que têm um “espaçozinho” ao redor dentro de . Em outras palavras, se você conseguir desenhar um pequeno intervalo em torno de um ponto que está todo dentro de , esse ponto faz parte do interior de .
Passo 3
Agora, o fechamento de um conjunto é basicamente o conjunto junto com todos os seus pontos de limite. Um ponto de limite é um ponto onde você consegue encontrar pontos de arbitrariamente perto dele.
Passo 4
A fronteira de um conjunto é definida como o fechamento de menos o interior de . Ou seja:
Passo 5
Vamos aplicar isso ao nosso conjunto , que são todos os números inteiros. Na reta dos números reais (), os inteiros são pontos isolados. Isso significa que em torno de cada inteiro, existe um pequeno espaço onde não há outros inteiros.
Passo 6
Calculando o Interior de :
Como os inteiros estão isolados, não existe nenhum “espaçozinho” ao redor de um inteiro que esteja todo dentro de . Portanto, o interior de é vazio.
Passo 7
Calculando o Fechamento de :
Os inteiros já são um conjunto fechado na topologia usual dos números reais, o que significa que eles já contêm todos os seus pontos de limite (que, nesse caso, não existem além deles mesmos). Portanto, o fechamento de é ele próprio.
Passo 8
Determinando a Fronteira:
Usando a fórmula da fronteira:
Resposta
A fronteira do conjunto é o próprio conjunto dos inteiros: