Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir a fronteira do conjunto , que são os números inteiros. Para isso, vamos usar conceitos de topologia, que estuda como os conjuntos se comportam em termos de pontos próximos. Vamos precisar entender o que são interior, fechamento e fronteira de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto é formado por todos os pontos que têm um “espaçozinho” ao redor dentro de . Em outras palavras, se você conseguir desenhar um pequeno intervalo em torno de um ponto que está todo dentro de , esse ponto faz parte do interior de .

Passo 3

Agora, o fechamento de um conjunto é basicamente o conjunto junto com todos os seus pontos de limite. Um ponto de limite é um ponto onde você consegue encontrar pontos de arbitrariamente perto dele.

Passo 4

A fronteira de um conjunto é definida como o fechamento de menos o interior de . Ou seja:

Passo 5

Vamos aplicar isso ao nosso conjunto , que são todos os números inteiros. Na reta dos números reais ( ), os inteiros são pontos isolados. Isso significa que em torno de cada inteiro, existe um pequeno espaço onde não há outros inteiros.

Passo 6

Calculando o Interior de :
Como os inteiros estão isolados, não existe nenhum “espaçozinho” ao redor de um inteiro que esteja todo dentro de . Portanto, o interior de é vazio.

Passo 7

Calculando o Fechamento de :
Os inteiros já são um conjunto fechado na topologia usual dos números reais, o que significa que eles já contêm todos os seus pontos de limite (que, nesse caso, não existem além deles mesmos). Portanto, o fechamento de é ele próprio.

Passo 8

Determinando a Fronteira:
Usando a fórmula da fronteira:

Resposta

A fronteira do conjunto é o próprio conjunto dos inteiros:

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