Sejam e conjuntos abertos. Mostre que o conjunto
é aberto.

Passo 1

Então, a gente tem dois conjuntos abertos, o e o . A gente quer mostrar que quando a gente soma todo mundo de com todo mundo de , ou seja, forma o conjunto , o resultado também é um conjunto aberto. Vamos precisar usar o conceito de conjuntos abertos e a definição de soma de conjuntos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, a gente consegue encontrar uma bolinha (ou intervalo, se for no caso de números reais) ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos pensar na soma dos conjuntos e . Para cada par de pontos e , a soma pertence a . Queremos mostrar que em torno de qualquer ponto em , tem uma bolinha que também está dentro de .

Passo 4

Como e são abertos, para os pontos e , existe uma bolinha de raio ao redor de que está totalmente dentro de e outra bolinha de raio ao redor de que está totalmente dentro de . Vamos usar essas bolinhas para encontrar a bolinha ao redor de .

Passo 5

Vamos escolher tal que se a gente pegar qualquer com e qualquer com , então vai estar dentro de uma bolinha de raio ao redor de . Assim, essa nova bolinha está totalmente dentro de .

Passo 6

Isso mostra que para qualquer ponto em , a gente conseguiu encontrar uma bolinha ao redor de que está dentro de . Portanto, é um conjunto aberto.

Resposta

O conjunto é aberto.

Exercícios relacionados

Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
Dada a sequência definida por
Obtenha para que seja uma sequência constante.
Esboce o gráfico de um exemplo de função que satisfaz todas as condiçôes dadas.
Prove que:
.