Sejam
e
conjuntos abertos. Mostre que o conjunto
é aberto.
Passo 1
Então, a gente tem dois conjuntos abertos, o
e o
. A gente quer mostrar que quando a gente soma todo mundo de
com todo mundo de
, ou seja, forma o conjunto
, o resultado também é um conjunto aberto. Vamos precisar usar o conceito de conjuntos abertos e a definição de soma de conjuntos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, a gente consegue encontrar uma bolinha (ou intervalo, se for no caso de números reais) ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos pensar na soma dos conjuntos
e
. Para cada par de pontos
e
, a soma
pertence a
. Queremos mostrar que em torno de qualquer ponto
em
, tem uma bolinha que também está dentro de
.
Passo 4
Como
e
são abertos, para os pontos
e
, existe uma bolinha de raio
ao redor de
que está totalmente dentro de
e outra bolinha de raio
ao redor de
que está totalmente dentro de
. Vamos usar essas bolinhas para encontrar a bolinha ao redor de
.
Passo 5
Vamos escolher
tal que se a gente pegar qualquer
com
e qualquer
com
, então
vai estar dentro de uma bolinha de raio
ao redor de
. Assim, essa nova bolinha está totalmente dentro de
.
Passo 6
Isso mostra que para qualquer ponto
em
, a gente conseguiu encontrar uma bolinha ao redor de
que está dentro de
. Portanto,
é um conjunto aberto.
Resposta
O conjunto
é aberto.
Exercícios relacionados
Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
Dada a sequência
definida por
Obtenha
para que
seja uma sequência constante.
Esboce o gráfico de um exemplo de função
que satisfaz todas as condiçôes dadas.
Prove que:
.