Sejam A e B conjuntos abertos. Mostre que o conjunto
A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B}
é aberto.

Passo 1

Então, a gente tem dois conjuntos abertos, o A e o B. A gente quer mostrar que quando a gente soma todo mundo de A com todo mundo de B, ou seja, forma o conjunto , o resultado também é um conjunto aberto. Vamos precisar usar o conceito de conjuntos abertos e a definição de soma de conjuntos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, a gente consegue encontrar uma bolinha (ou intervalo, se for no caso de números reais) ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos pensar na soma dos conjuntos A e B. Para cada par de pontos x em A e y in B, a soma pertence a . Queremos mostrar que em torno de qualquer ponto em , tem uma bolinha que também está dentro de .

Passo 4

Como A e B são abertos, para os pontos x e y, existe uma bolinha de raio epsilon ao redor de x que está totalmente dentro de A e outra bolinha de raio epsilon ao redor de y que está totalmente dentro de B. Vamos usar essas bolinhas para encontrar a bolinha ao redor de z.

Passo 5

Vamos escolher epsilon tal que se a gente pegar qualquer com e qualquer com , então vai estar dentro de uma bolinha de raio ao redor de . Assim, essa nova bolinha está totalmente dentro de .

Passo 6

Isso mostra que para qualquer ponto z em , a gente conseguiu encontrar uma bolinha ao redor de z que está dentro de . Portanto, é um conjunto aberto.

Resposta

O conjunto é aberto.

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